2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

반지름의 길이가 8이고 중심각의 크기가 $\frac{3}{4}\pi$인 부채꼴의 넓이는 $a\pi$이다. $a$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 주어진 반지름과 중심각으로부터 넓이를 계산하고, 미지수 $a$의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부채꼴의 반지름의 길이 $r=8$
- 부채꼴의 중심각의 크기 $\theta =\frac{3}{4}\pi$
- 부채꼴의 넓이 $S=a\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 넓이를 계산한 후, 주어진 식과 비교하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 부채꼴의 넓이 공식을 상기합니다.

step2. 주어진 반지름과 중심각의 크기를 공식에 대입하여 부채꼴의 넓이를 계산합니다.

step3. 계산된 넓이와 문제에 주어진 넓이 식을 비교하여 $a$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 부채꼴의 넓이 공식: 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 넓이 $S$는 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. 부채꼴의 넓이 공식을 상기합니다.

반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 넓이를 $S$라고 할 때, 넓이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

step2. 주어진 반지름과 중심각의 크기를 공식에 대입하여 부채꼴의 넓이를 계산합니다.

문제에서 주어진 조건은 반지름 $r=8$, 중심각 $\theta =\frac{3}{4}\pi$ 입니다.

이를 넓이 공식에 대입하면,

$S=\frac{1}{2}\times 8^2\times \frac{3}{4}\pi$

$S=\frac{1}{2}\times 64\times \frac{3}{4}\pi$

$S=32\times \frac{3}{4}\pi$

$S=24\pi$

step3. 계산된 넓이와 문제에 주어진 넓이 식을 비교하여 $a$의 값을 도출합니다.

문제에서 부채꼴의 넓이가 $a\pi$라고 주어졌습니다.

따라서 우리가 계산한 넓이와 비교하면,

$a\pi =24\pi$

양변을 $\pi$로 나누면,

$a=24$

[키포인트] 부채꼴의 넓이를 구할 때 중심각이 호도법(라디안)으로 주어졌으므로 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$ 공식을 바로 적용하는 것이 핵심입니다.

[함정경고] 중심각이 육십분법(도)으로 주어졌을 때와 호도법(라디안)으로 주어졌을 때 사용하는 공식이 다릅니다. 여기서는 라디안으로 주어졌으므로 $\frac{1}{2}{r}^2\theta$를 사용해야 하며, $\pi$를 생략하거나 잘못 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

[정답] 24

⚡ 실전용 풀이

step1. 부채꼴의 넓이 공식

$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

step2. 넓이 계산

$S=\frac{1}{2}\times 8^2\times \frac{3}{4}\pi$

$S=\frac{1}{2}\times 64\times \frac{3}{4}\pi$

$S=24\pi$

step3. a 값 도출

$a\pi =24\pi$

$\therefore a=24$

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