2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 ${\log }_2(x-4)={\log }_{\frac{1}{2}}(x-6)+3$ 을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 밑을 통일하고 진수 조건을 고려하여 로그방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_2(x-4)={\log }_{\frac{1}{2}}(x-6)+3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 확인한 후, 밑을 통일하여 이차방정식으로 변환하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

step2. 로그의 성질을 이용하여 밑을 2로 통일합니다.

step3. 로그방정식을 이차방정식으로 변환하여 해를 구합니다.

step4. 구한 해 중에서 진수 조건을 만족하는 값만 최종 정답으로 선택합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: ${\log }_{a}N$ 이 정의되기 위해서는 $N>0$ 이어야 합니다.

- 로그의 밑의 변환: ${\log }_{a^m}N=\frac{1}{m}{\log }_{a}N$ 입니다.

- 로그의 덧셈: ${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그방정식을 풀 때는 가장 먼저 진수 조건을 확인하고, 밑을 같게 만들어 진수끼리 비교하는 것이 핵심입니다.

step1. 진수 조건 확인

로그가 정의되려면 진수가 항상 양수이어야 합니다.

$x-4>0$ 에서 $x>4$

$x-6>0$ 에서 $x>6$

두 조건을 모두 만족해야 하므로, 공통 범위는 $x>6$ 입니다.

step2. 로그의 밑 통일

주어진 방정식은 ${\log }_2(x-4)={\log }_{\frac{1}{2}}(x-6)+3$ 입니다.

우변의 밑 $\frac{1}{2}$ 은 $2^{-1}$ 이므로, 로그의 성질에 의해 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

${\log }_{\frac{1}{2}}(x-6)={\log }_{2^{-1}}(x-6)=-{\log }_2(x-6)$

step3. 방정식 변환 및 풀이

방정식에 대입하여 정리합니다.

${\log }_2(x-4)=-{\log }_2(x-6)+3$

$-{\log }_2(x-6)$ 을 좌변으로 이항합니다.

${\log }_2(x-4)+{\log }_2(x-6)=3$

로그의 덧셈 성질을 이용하여 하나의 로그로 합칩니다.

${\log }_2((x-4)(x-6))=3$

로그의 정의에 따라 진수는 밑의 지수승과 같습니다.

$(x-4)(x-6)=2^3$

$(x-4)(x-6)=8$

이차방정식을 전개하여 풉니다.

$x^2-10x+24=8$

$x^2-10x+16=0$

$(x-2)(x-8)=0$

따라서 $x=2$ 또는 $x=8$ 입니다.

step4. 진수 조건 적용

[함정경고] 구한 해를 모두 정답으로 적으면 안 됩니다. 반드시 처음에 구한 진수 조건을 만족하는지 확인해야 합니다.

step1. 에서 구한 진수 조건이 $x>6$ 이므로,

$x=2$ 는 조건에 맞지 않아 버립니다.

따라서 조건을 만족하는 해는 $x=8$ 입니다.

[정답] 8

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x-4>0,x-6>0⟹x>6$

step2. 밑 통일 및 방정식 풀이

${\log }_2(x-4)=-{\log }_2(x-6)+3$   --- (밑 $\frac{1}{2}=2^{-1}$ 이용)

${\log }_2(x-4)+{\log }_2(x-6)=3$

${\log }_2((x-4)(x-6))=3$

$(x-4)(x-6)=2^3=8$

$x^2-10x+24=8$

$x^2-10x+16=0$

$(x-2)(x-8)=0$

$x=2$ 또는 $x=8$

step3. 조건 확인

$x>6$ 이므로 $x=8$

$\therefore 8$

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