2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 첫째항이 음수인 등비수열 $\{a_n\}$이 $a_1\times a_5=36,a_3+2a_4=2$ 를 만족시킬 때, $a_2$의 값은? [3점] ① 3 ② 6 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 첫째항과 공비를 구한 뒤 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열 $\{a_n\}$은 등비수열
- 첫째항 $a_1<0$
- $a_1\times a_5=36$
- $a_3+2a_4=2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 첫째항과 공비에 대한 식으로 변환한 후 연립하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 두 조건을 첫째항 $a$와 공비 $r$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 첫 번째 조건식에서 $a{r}^2$의 값을 구합니다. 이때 첫째항이 음수라는 조건을 활용하여 부호를 결정합니다.

step3. 구한 $a{r}^2$의 값을 두 번째 조건식에 대입하여 공비 $r$을 구합니다.

step4. $a_2=ar$임을 이용하여 최종적으로 $a_2$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$n$항은 $a_n=a{r}^{n-1}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 등비수열 문제에서는 모든 항을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 표현하여 연립방정식을 세우는 것이 기본이자 핵심입니다.

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다.

문제의 조건에 따라 $a<0$ 입니다.

step1. 조건을 $a$와 $r$에 대한 식으로 나타내기

등비수열의 일반항 공식 $a_n=a{r}^{n-1}$을 이용하면,

$a_1=a$

$a_3=a{r}^2$

$a_4=a{r}^3$

$a_5=a{r}^4$

입니다.

step2. 첫 번째 조건식 풀이

주어진 첫 번째 조건 $a_1\times a_5=36$에 대입하면,

$a\times (a{r}^4)=36$

$a^2{r}^4=36$

$(a{r}^2{)}^2=36$

따라서 $a{r}^2=6$ 또는 $a{r}^2=-6$ 입니다.

[함정경고] 여기서 무심코 $a{r}^2=6$이라고 단정 짓기 쉽습니다. 문제에 주어진 '첫째항이 음수'라는 조건을 반드시 확인해야 합니다.

$a<0$ 이고, 실수의 제곱인 $r^2\ge 0$ 이므로, $a{r}^2$은 0 이하의 수여야 합니다.

따라서 $a{r}^2=-6$ 이 됩니다. (이 값은 곧 $a_3$의 값입니다.)

step3. 두 번째 조건식 풀이

주어진 두 번째 조건 $a_3+2a_4=2$에 대입하면,

$a{r}^2+2a{r}^3=2$

이 식은 $a{r}^2+2(a{r}^2)r=2$ 로 묶어 쓸 수 있습니다.

앞서 구한 $a{r}^2=-6$을 대입하면,

$-6+2(-6)r=2$

$-6-12r=2$

$-12r=8$

$r=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}$

step4. $a_2$의 값 구하기

우리가 구하고자 하는 값은 $a_2=ar$ 입니다.

앞서 $a{r}^2=-6$ 임을 알았고, 이는 $(ar)\times r=-6$ 과 같습니다.

즉, $a_2\times r=-6$ 입니다.

여기에 $r=-\frac{2}{3}$ 을 대입하면,

$a_2\times (-\frac{2}{3})=-6$

$a_2=-6\times (-\frac{3}{2})=9$

따라서 $a_2$의 값은 9입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 세우기

$a_1=a,a_5=a{r}^4$

$a_1{a}_5=a^2{r}^4=(a{r}^2{)}^2=36$

step2. $a{r}^2$ 구하기

$a<0,r^2\ge 0$ 이므로

$a{r}^2=-6$

step3. 공비 $r$ 구하기

$a_3+2a_4=2$

$a{r}^2+2a{r}^3=2$

$-6+2(-6)r=2$   --- ($a{r}^2=-6$ 대입)

$-12r=8\therefore r=-\frac{2}{3}$

step4. $a_2$ 구하기

$a_2=ar$

$a{r}^2=(ar)r=a_{2}r=-6$

$a_2(-\frac{2}{3})=-6$

$\therefore a_2=9$

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