2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (부정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 $\frac{d}{dx}f(x)=3x^2-5$이고 $f(0)=1$일 때, $f(1)$의 값은? [3점] ① -1 ② -2 ③ -3 ④ -4 ⑤ -5

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수가 주어졌을 때 부정적분을 이용하여 원래의 함수를 구하고, 주어진 함숫값을 통해 적분상수를 결정하여 특정 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{d}{dx}f(x)=3x^2-5$
- $f(0)=1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 부정적분하여 원래 함수를 구하고, 초기 조건을 이용해 적분상수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 도함수를 부정적분하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. $f(0)=1$ 조건을 이용하여 적분상수 $C$의 값을 구합니다.

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 부정적분: 함수 $f(x)$의 도함수가 주어졌을 때, 원래 함수를 구하는 연산입니다. $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$ (단, $n\ne -1$, $C$는 적분상수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 도함수 $\frac{d}{dx}f(x)$가 주어졌을 때, 이를 부정적분하면 원래의 함수 $f(x)$를 구할 수 있습니다. 이때 발생하는 적분상수는 주어진 함숫값을 통해 결정합니다.

step1. 주어진 도함수를 부정적분하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

주어진 조건에서 $\frac{d}{dx}f(x)=3x^2-5$입니다.

양변을 $x$에 대하여 부정적분하면,

$f(x)=\int (3x^2-5)dx$

$f(x)=x^3-5x+C$ (단, $C$는 적분상수)가 됩니다.

step2. $f(0)=1$ 조건을 이용하여 적분상수 $C$의 값을 구합니다.

문제에서 $f(0)=1$이라고 주어졌으므로, 위에서 구한 식에 $x=0$을 대입합니다.

$f(0)=0^3-5\times 0+C=C$

따라서 $C=1$입니다.

이를 통해 함수 $f(x)$를 완성하면,

$f(x)=x^3-5x+1$이 됩니다.

[함정경고] 부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹기 쉽습니다. 적분상수를 잊으면 $f(0)$ 조건을 활용할 수 없으므로 반드시 $C$를 적어주어야 합니다.

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 $f(1)$이므로, 완성된 식에 $x=1$을 대입합니다.

$f(1)=1^3-5\times 1+1$

$f(1)=1-5+1=-3$

따라서 $f(1)$의 값은 -3이며, 정답은 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분

$f(x)=\int (3x^2-5)dx$

$f(x)=x^3-5x+C$

step2. 적분상수 결정

$f(0)=C=1$   --- ($f(0)=1$이므로)

$\therefore f(x)=x^3-5x+1$

step3. 함숫값 계산

$f(1)=1^3-5(1)+1$

$f(1)=-3$

$\therefore 정답③$

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