2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin \theta \tan \theta +\cos \theta =3$ 일 때, $\sin \theta -\tan \theta$의 값은? [3점] ① $-\frac{4\sqrt{2}}{3}$ ② $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ③ $0$ ④ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ⑤ $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, 특정 사분면에서의 삼각함수의 부호를 고려하여 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$
- $\sin \theta \tan \theta +\cos \theta =3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식을 간단히 한 후, 각 사분면에서의 부호를 판별하여 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$를 이용하여 주어진 방정식을 $\cos \theta$에 대한 식으로 변형합니다.

step2. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 $\cos \theta$의 값을 구합니다.

step3. 주어진 $\theta$의 범위를 통해 $\sin \theta$와 $\tan \theta$의 부호를 결정하고 그 값을 구합니다.

step4. 구한 값들을 대입하여 최종적으로 $\sin \theta -\tan \theta$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수 사이의 관계: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 제4사분면($\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$)에서 $\cos \theta >0$, $\sin \theta <0$, $\tan \theta <0$

5. 구체적 풀이

step1. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$를 이용하여 주어진 방정식을 $\cos \theta$에 대한 식으로 변형합니다.

주어진 식 $\sin \theta \tan \theta +\cos \theta =3$에 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$를 대입합니다.

$\sin \theta \left(\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)+\cos \theta =3$

$\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }+\cos \theta =3$

step2. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 $\cos \theta$의 값을 구합니다.

위 식의 양변에 $\cos \theta$를 곱해줍니다. ($\theta$가 제4사분면의 각이므로 $\cos \theta \ne 0$입니다.)

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =3\cos \theta$

여기서 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$이므로,

$1=3\cos \theta$

$\therefore \cos \theta =\frac{1}{3}$

[키포인트] $\tan \theta$를 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$로 바꾸고, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 활용하여 하나의 삼각함수 값($\cos \theta$)을 먼저 찾아내는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step3. 주어진 $\theta$의 범위를 통해 $\sin \theta$와 $\tan \theta$의 부호를 결정하고 그 값을 구합니다.

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

주어진 조건에서 $\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$이므로 $\theta$는 제4사분면의 각입니다.

제4사분면에서 사인 함수는 음수이므로 $\sin \theta <0$입니다.

$\therefore \sin \theta =-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

[함정경고] 여기서 $\sin \theta$의 값을 구할 때, 제곱근을 취하면서 $\pm$ 부호를 고려해야 합니다. $\theta$가 제4사분면의 각이라는 조건을 놓치면 부호를 잘못 선택하여 오답을 낼 수 있으니 주의해야 합니다.

이제 $\tan \theta$의 값을 구합니다.

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}$

step4. 구한 값들을 대입하여 최종적으로 $\sin \theta -\tan \theta$의 값을 계산합니다.

$\sin \theta -\tan \theta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}-(-2\sqrt{2})$

$=-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{6\sqrt{2}}{3}$

$=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 변형

$\sin \theta \tan \theta +\cos \theta =3$

$\sin \theta \left(\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)+\cos \theta =3$   --- ($\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 이용)

$\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }+\cos \theta =3$

step2. $\cos \theta$ 구하기

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =3\cos \theta$   --- (양변에 $\cos \theta$ 곱함)

$1=3\cos \theta$   --- (${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 이용)

$\therefore \cos \theta =\frac{1}{3}$

step3. $\sin \theta$, $\tan \theta$ 구하기

${\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}$

$\theta$는 제4사분면의 각이므로 $\sin \theta <0$

$\therefore \sin \theta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta =\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}$

step4. 최종 계산

$\sin \theta -\tan \theta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}-(-2\sqrt{2})$

$=-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{6\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\therefore ⑤$

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