2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 정적분)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $xf(x)=a{x}^3+2x-3+{\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt$ 를 만족시킬 때, ${\int }_0^{2}f(x)dx$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) ① 3 ② 6 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 상수를 포함한 항등식에서 미지수를 구하고, 다항함수의 식을 완성하여 정적분 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- 모든 실수 $x$에 대하여 $xf(x)=a{x}^3+2x-3+{\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt$
- $a$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분 값을 상수로 치환하고 항등식의 성질을 이용하여 함수식을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 정적분 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt$를 상수 $k$로 치환하고, $x=0$을 대입하여 $k$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $k$ 값을 대입하여 $f(x)$의 식을 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 치환했던 정적분 식을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하고 $f(x)$를 완성합니다.

step4. 완성된 $f(x)$를 이용하여 구하고자 하는 정적분 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 항등식의 수치대입법: 주어진 식이 모든 실수 $x$에 대해 성립하므로, 적절한 $x$ 값을 대입하여 미지수를 구할 수 있습니다.

- 정적분의 기본 정리: ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$ 임을 이용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 정적분 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt$는 적분 구간이 상수로 주어져 있으므로 그 결과값도 상수입니다. 이를 하나의 문자로 치환하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 정적분 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt$를 상수 $k$로 치환하고, $x=0$을 대입하여 $k$의 값을 구합니다.

${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt=k$ ($k$는 상수)라고 놓으면 주어진 식은 다음과 같습니다.

$xf(x)=a{x}^3+2x-3+k$

이 식은 모든 실수 $x$에 대하여 성립하는 항등식이므로, 양변에 $x=0$을 대입합니다.

$0=0+0-3+k$

따라서 $k=3$ 입니다.

step2. 구한 $k$ 값을 대입하여 $f(x)$의 식을 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

$k=3$을 원래 식에 대입하면,

$xf(x)=a{x}^3+2x-3+3$

$xf(x)=a{x}^3+2x$

$x\ne 0$일 때 양변을 $x$로 나누면,

$f(x)=a{x}^2+2$

$f(x)$는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=a{x}^2+2$ 가 성립합니다.

step3. 치환했던 정적분 식을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하고 $f(x)$를 완성합니다.

앞서 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt=k=3$ 이라고 했습니다.

정적분의 기본 정리에 의해 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt=f(1)-f(0)$ 입니다.

$f(x)=a{x}^2+2$ 이므로,

$f(1)=a(1{)}^2+2=a+2$

$f(0)=a(0{)}^2+2=2$

따라서 $f(1)-f(0)=(a+2)-2=a$ 입니다.

그러므로 $a=3$ 이 됩니다.

결과적으로 $f(x)=3x^2+2$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $f(x)$를 구한 후 끝났다고 착각하기 쉽습니다. 문제에서 최종적으로 요구하는 것은 ${\int }_0^{2}f(x)dx$의 값임을 잊지 마세요.

step4. 완성된 $f(x)$를 이용하여 구하고자 하는 정적분 값을 계산합니다.

${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(3x^2+2)dx$

$=[x^3+2x{]}_0^2$

$=(2^3+2\times 2)-(0+0)$

$=8+4=12$

따라서 정답은 12입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. k값 구하기

${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt=k$ 라 하면

$xf(x)=a{x}^3+2x-3+k$

$x=0$ 대입: $0=-3+k⟹k=3$

step2. f(x) 식 세우기

$xf(x)=a{x}^3+2x$

$f(x)=a{x}^2+2$

step3. a값 구하기

${\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt=f(1)-f(0)=3$

$(a+2)-2=3⟹a=3$

$\therefore f(x)=3x^2+2$

step4. 정적분 계산

${\int }_0^2(3x^2+2)dx=[x^3+2x{]}_0^2$

$=8+4=12$

$\therefore 12$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기