2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

10. 모든 항이 자연수이고 공차가 같은 두 등차수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k\times b_k}=\frac{n}{8n+4}$ 을 만족시킬 때, ${\sum }_{k=1}^5(a_k+b_k)$의 값은? [4점] ① 100 ② 110 ③ 120 ④ 130 ⑤ 140

1. 문제의 요지

이 문제는 부분분수를 이용한 급수의 합과 등차수열의 성질을 이용하여 두 수열의 일반항을 구하고, 그 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 항이 자연수
- 공차가 같은 두 등차수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$
- 모든 자연수 $n$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k\times b_k}=\frac{n}{8n+4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 합과 일반항의 관계, 그리고 부분분수를 이용한 급수의 합을 통해 두 등차수열을 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 수열의 합 $S_n$을 이용하여 $n=1,2$일 때의 항의 값을 구합니다.

step2. 두 수열의 첫째항과 공차에 대한 방정식을 세우고, 자연수 조건을 이용하여 가능한 경우를 찾습니다.

step3. 부분분수 분해를 통해 급수가 소거되는 형태를 분석하여 올바른 첫째항과 공차를 확정합니다.

step4. 확정된 두 수열의 일반항을 이용하여 구하고자 하는 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 합과 일반항의 관계: $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$, $a_1=S_1$

- 부분분수 분해: $\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$ (단, $A\ne B$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 수열의 합이 주어졌을 때, $S_n-S_{n-1}$을 이용하여 일반항을 구하고, 분수 형태의 수열의 합은 부분분수 분해를 통해 연쇄적으로 소거되는 형태임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 수열의 합 $S_n$을 이용하여 $n=1,2$일 때의 항의 값을 구합니다.

주어진 식을 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k{b}_k}=\frac{n}{8n+4}$ 라고 합시다.

$n=1$을 대입하면, $S_1=\frac{1}{a_1{b}_1}=\frac{1}{8(1)+4}=\frac{1}{12}$ 이므로 $a_1{b}_1=12$ 입니다.

$n=2$를 대입하면, $S_2=\frac{1}{a_1{b}_1}+\frac{1}{a_2{b}_2}=\frac{2}{8(2)+4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ 입니다.

수열의 합과 일반항의 관계에 의해, $\frac{1}{a_2{b}_2}=S_2-S_1=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{6-5}{60}=\frac{1}{60}$ 이므로 $a_2{b}_2=60$ 입니다.

step2. 두 수열의 첫째항과 공차에 대한 방정식을 세우고, 자연수 조건을 이용하여 가능한 경우를 찾습니다.

두 등차수열 $\{a_n\},\{b_n\}$의 공차가 같으므로 이를 $d$라고 합시다. 모든 항이 자연수이므로 $a_1,b_1$은 자연수이고 $d$는 정수입니다.

$a_1{b}_1=12$ 를 만족하는 자연수 순서쌍 $(a_1,b_1)$은 $(1,12),(2,6),(3,4)$ 등이 있습니다. (대칭적이므로 $a_1<b_1$로 가정해도 무방합니다.)

$a_2{b}_2=(a_1+d)(b_1+d)=60$ 입니다.

각 경우에 대해 $d$를 구해봅시다.

1) $a_1=1,b_1=12$ 일 때: $(1+d)(12+d)=60\Rightarrow d^2+13d-48=0\Rightarrow (d+16)(d-3)=0$. 따라서 $d=3$ 입니다.

2) $a_1=2,b_1=6$ 일 때: $(2+d)(6+d)=60\Rightarrow d^2+8d-48=0\Rightarrow (d+12)(d-4)=0$. 따라서 $d=4$ 입니다.

3) $a_1=3,b_1=4$ 일 때: $(3+d)(4+d)=60\Rightarrow d^2+7d-48=0$. 이를 만족하는 정수 $d$는 없습니다.

step3. 부분분수 분해를 통해 급수가 소거되는 형태를 분석하여 올바른 첫째항과 공차를 확정합니다.

$\frac{1}{a_k{b}_k}$ 의 합이 간단한 분수 형태로 나타나려면 부분분수 분해를 통해 항들이 연쇄적으로 소거되어야 합니다.

$\frac{1}{a_k{b}_k}=\frac{1}{b_k-a_k}(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{b_k})$ 이고, $b_k-a_k=(b_1+(k-1)d)-(a_1+(k-1)d)=b_1-a_1$ 로 일정합니다.

이때 연쇄 소거가 일어나려면 $b_k=a_{k+1}$ 과 같은 형태가 되어야 합니다. 즉, $b_1=a_2=a_1+d$ 를 만족해야 합니다.

앞서 구한 두 가지 경우를 확인해봅시다.

1) $a_1=1,b_1=12,d=3$ 인 경우: $a_1+d=1+3=4\ne 12$ 이므로 모순입니다.

2) $a_1=2,b_1=6,d=4$ 인 경우: $a_1+d=2+4=6=b_1$ 이므로 성립합니다.

따라서 $a_1=2,d=4$ 이고 $b_1=6,d=4$ 로 확정됩니다.

일반항은 $a_n=2+(n-1)4=4n-2$, $b_n=6+(n-1)4=4n+2$ 입니다.

[함정경고] $a_1{b}_1=12$ 와 $a_2{b}_2=60$ 만으로 $d$를 구했을 때 여러 경우가 나올 수 있으므로, 반드시 부분분수 분해의 연쇄 소거 조건을 통해 올바른 경우를 걸러내야 합니다.

step4. 확정된 두 수열의 일반항을 이용하여 구하고자 하는 합을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+b_k)$ 입니다.

$a_k+b_k=(4k-2)+(4k+2)=8k$ 입니다.

따라서 ${\sum }_{k=1}^{5}8k=8{\sum }_{k=1}^{5}k=8\times \frac{5\times 6}{2}=8\times 15=120$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. $n=1,2$ 대입

$S_n=\frac{n}{8n+4}$

$S_1=\frac{1}{a_1{b}_1}=\frac{1}{12}\Rightarrow a_1{b}_1=12$

$S_2=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

$\frac{1}{a_2{b}_2}=S_2-S_1=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{1}{60}\Rightarrow a_2{b}_2=60$

step2. 첫째항과 공차 추론

--- 공차를 $d$라 하면 $a_2{b}_2=(a_1+d)(b_1+d)=60$

$a_1{b}_1=12$ 이므로 $(a_1,b_1)=(2,6)$ 가정

$(2+d)(6+d)=60\Rightarrow d^2+8d-48=0\Rightarrow (d+12)(d-4)=0$

$d=4$   --- 자연수 조건

step3. 부분분수 소거 확인

--- $b_k-a_k=4$ 로 일정, $b_1=a_1+d=6$ 이므로 연쇄 소거 성립

$a_n=4n-2,b_n=4n+2$

step4. 정답 계산

$a_k+b_k=8k$

${\sum }_{k=1}^{5}8k=8\times \frac{5\times 6}{2}=120$

$\therefore 120$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기