2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (로그함수와 그래프)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

12. 그림과 같이 세 상수 $a(a>1)$, $k$, $t$에 대하여 두 곡선 $y={\log }_{a}x$, $y=-2{\log }_{a}x+k$가 만나는 점을 A라 하고, 직선 $x=t$가 두 곡선 $y={\log }_{a}x$, $y=-2{\log }_{a}x+k$와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 직선 AB가 원점 O를 지나고 두 삼각형 OCA, ACB의 넓이가 2로 같을 때, $a\times k\times t$의 값은? (단, $k>0$이고, $t$는 점 A의 $x$좌표보다 크다.) [4점] ① $8\sqrt{2}$ ② 16 ③ $16\sqrt{2}$ ④ 24 ⑤ $24\sqrt{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 그래프의 교점과 직선의 방정식, 그리고 삼각형의 넓이 조건을 이용하여 미지수 $a,k,t$의 값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 1: $y={\log }_{a}x$ ($a>1$)
- 곡선 2: $y=-2{\log }_{a}x+k$ ($k>0$)
- 점 A: 두 곡선의 교점
- 직선 $x=t$: 두 곡선과 만나는 점을 각각 B, C라 함 ($t>x_A$)
- 직선 AB: 원점 O(0,0)를 지남
- 삼각형 OCA의 넓이 = 삼각형 ACB의 넓이 = 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 그래프 위의 점의 좌표를 미지수로 설정하고, 주어진 기하학적 조건(일직선, 삼각형의 넓이)을 수식으로 변환하여 푸는 방법으로 접근합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 곡선의 교점 A의 좌표를 $x_A$를 이용하여 나타냅니다.

step2. 점 B와 C의 좌표를 $t$를 이용하여 나타냅니다.

step3. 두 삼각형의 넓이 조건을 이용하여 $t$와 $x_A$의 관계를 구합니다.

step4. 세 점 O, A, B가 일직선 위에 있다는 조건을 이용하여 $k$와 $x_A$의 관계를 구합니다.

step5. 삼각형의 넓이 식에 구한 값들을 대입하여 $k$의 값을 구하고, 이어서 $a$와 $t$의 값을 구하여 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 교점: 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 교점의 $x$좌표는 방정식 $f(x)=g(x)$의 해와 같습니다.

- 세 점이 일직선 위에 있을 조건: 세 점 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$이 일직선 위에 있으면, 두 점씩 짝지어 구한 기울기가 모두 같습니다. 즉, $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}$ 입니다.

- 삼각형의 넓이: 좌표평면에서 선분 $BC$가 $y$축과 평행할 때, 점 $A$와 선분 $BC$로 이루어진 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\times BC\times |x_A-x_B|$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점의 좌표를 미지수로 설정하고, '원점을 지나는 일직선' 조건은 기울기가 같음으로, '삼각형의 넓이' 조건은 밑변과 높이의 관계로 해석하는 것이 핵심입니다.

step1. 교점 A의 좌표 설정

점 A는 두 곡선 $y={\log }_{a}x$와 $y=-2{\log }_{a}x+k$의 교점이므로, 점 A의 $x$좌표를 $x_A$라 하면

${\log }_a{x}_A=-2{\log }_a{x}_A+k$

$3{\log }_a{x}_A=k$

${\log }_a{x}_A=\frac{k}{3}$

따라서 점 A의 좌표는 $A(x_A,\frac{k}{3})$ 입니다.

step2. 점 B, C의 좌표 설정

직선 $x=t$가 두 곡선과 만나는 점이 B, C이므로

$B(t,{\log }_{a}t)$

$C(t,-2{\log }_{a}t+k)$

입니다.

step3. 삼각형의 넓이 조건을 이용한 $t$와 $x_A$의 관계 도출

[함정경고] 삼각형 OCA의 넓이를 구할 때 복잡한 사선 공식을 쓰기보다는, 전체 삼각형 OCB에서 삼각형 ACB를 빼는 방식으로 접근하면 계산이 훨씬 간단해집니다.

선분 BC는 $y$축에 평행하므로, 이를 밑변으로 생각할 수 있습니다.

$△ACB$의 넓이는 밑변이 $BC$, 높이가 $(t-x_A)$이므로

$△ACB=\frac{1}{2}\times BC\times (t-x_A)=2$ 입니다.

한편, $△OCB$의 넓이는 밑변이 $BC$, 높이가 $t$이므로

$△OCB=\frac{1}{2}\times BC\times t$ 입니다.

그림에서 $△OCB=△OCA+△ACB$ 이고, $△OCA=2$, $△ACB=2$ 이므로

$△OCB=2+2=4$ 입니다.

따라서 $\frac{1}{2}\times BC\times t=4$ 입니다.

두 넓이 식을 나누면:

$\frac{\frac{1}{2}\times BC\times t}{\frac{1}{2}\times BC\times (t-x_A)}=\frac{4}{2}$

$\frac{t}{t-x_A}=2$

$t=2(t-x_A)$

$t=2t-2x_A$

$\therefore t=2x_A$

step4. 일직선 조건을 이용한 $k$와 $x_A$의 관계 도출

직선 AB가 원점 O를 지나므로, 세 점 O(0,0), A$(x_A,\frac{k}{3})$, B$(t,{\log }_{a}t)$는 일직선 위에 있습니다.

따라서 직선 OA의 기울기와 직선 OB의 기울기가 같습니다.

$\frac{\frac{k}{3}}{x_A}=\frac{{\log }_{a}t}{t}$

앞서 구한 $t=2x_A$를 대입하면:

$\frac{k}{3x_A}=\frac{{\log }_a(2x_A)}{2x_A}$

양변에 $x_A$를 곱하면 ($x_A>0$):

$\frac{k}{3}=\frac{{\log }_{a}2+{\log }_a{x}_A}{2}$

step1. 에서 ${\log }_a{x}_A=\frac{k}{3}$ 이었으므로 대입하면:

$\frac{k}{3}=\frac{{\log }_{a}2+\frac{k}{3}}{2}$

$\frac{2k}{3}={\log }_{a}2+\frac{k}{3}$

$\frac{k}{3}={\log }_{a}2$

$\therefore k=3{\log }_{a}2={\log }_{a}8$

이로부터 ${\log }_a{x}_A={\log }_{a}2$ 이므로 $x_A=2$ 임을 알 수 있습니다.

따라서 $t=2x_A=4$ 입니다.

step5. $k,a$ 값 계산 및 최종 정답 도출

이제 선분 BC의 길이를 $k$로 나타내어 봅시다.

$t=4$ 일 때, 점 B의 $y$좌표는 ${\log }_{a}4=2{\log }_{a}2=2\times \frac{k}{3}=\frac{2k}{3}$ 입니다.

점 C의 $y$좌표는 $-2{\log }_{a}4+k=-4{\log }_{a}2+k=-4\times \frac{k}{3}+k=-\frac{4k}{3}+\frac{3k}{3}=-\frac{k}{3}$ 입니다.

따라서 선분 BC의 길이는 $BC=\frac{2k}{3}-(-\frac{k}{3})=k$ 입니다.

step3. 에서 $△OCB=\frac{1}{2}\times BC\times t=4$ 이었으므로,

$\frac{1}{2}\times k\times 4=4$

$2k=4⟹k=2$ 입니다.

$k=3{\log }_{a}2$ 에 $k=2$ 를 대입하면:

$2=3{\log }_{a}2⟹{\log }_{a}2=\frac{2}{3}$

$a^{\frac{2}{3}}=2⟹a=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$ 입니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은

$a\times k\times t=2\sqrt{2}\times 2\times 4=16\sqrt{2}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 A의 좌표 설정

${\log }_a{x}_A=-2{\log }_a{x}_A+k$

$3{\log }_a{x}_A=k⟹{\log }_a{x}_A=\frac{k}{3}$

$A(x_A,\frac{k}{3})$

step2. 점 B, C의 좌표 설정

$B(t,{\log }_{a}t),C(t,-2{\log }_{a}t+k)$

step3. 삼각형의 넓이 조건을 이용한 $t$와 $x_A$의 관계 도출

$△ACB=\frac{1}{2}·BC·(t-x_A)=2$

$△OCB=△OCA+△ACB=2+2=4$

$△OCB=\frac{1}{2}·BC·t=4$

$\frac{t}{t-x_A}=2⟹t=2t-2x_A⟹t=2x_A$

step4. 일직선 조건을 이용한 $k$와 $x_A$의 관계 도출

$\frac{k/3}{x_A}=\frac{{\log }_{a}t}{t}=\frac{{\log }_a(2x_A)}{2x_A}$   --- (O, A, B 일직선)

$\frac{2k}{3}={\log }_{a}2+{\log }_a{x}_A={\log }_{a}2+\frac{k}{3}$

$\frac{k}{3}={\log }_{a}2⟹k=3{\log }_{a}2$

${\log }_a{x}_A={\log }_{a}2⟹x_A=2,t=4$

step5. $k,a$ 값 계산 및 최종 정답 도출

$y_B={\log }_{a}4=2{\log }_{a}2=\frac{2k}{3}$

$y_C=-2{\log }_{a}4+k=-\frac{4k}{3}+k=-\frac{k}{3}$

$BC=\frac{2k}{3}-(-\frac{k}{3})=k$

$\frac{1}{2}·k·4=4⟹k=2$

$2=3{\log }_{a}2⟹{\log }_{a}2=\frac{2}{3}⟹a=2^{3/2}=2\sqrt{2}$

$\therefore a\times k\times t=2\sqrt{2}\times 2\times 4=16\sqrt{2}$

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