2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (미적분/다항함수의 미분법)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

15. 최고차항의 계수가 1이고 ${lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$인 사차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\{g(x)-x\}\{g(x)-f(x)\}=0$을 만족시킨다. 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 $\frac{g(-2)}{g(3)}$의 값의 합은? [4점] (가) ${lim}_{x\to 2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}$의 값은 존재하지 않는다. (나) $x\ge a$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(-x)=-g(x)$를 만족시키는 실수 $a$의 최솟값은 4이다. ① $-\frac{41}{3}$ ② $-13$ ③ $-\frac{37}{3}$ ④ $-\frac{35}{3}$ ⑤ $-11$

1. 문제의 요지

이 문제는 사차함수의 식을 설정하고, 연속함수 $g(x)$가 $y=x$ 또는 $y=f(x)$를 선택하여 구성됨을 이해한 후, 미분불가능 조건과 기함수 조건을 이용하여 $f(x)$를 특정하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 사차함수
- ${lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$
- $g(x)$는 실수 전체에서 연속
- 모든 실수 $x$에 대하여 $\{g(x)-x\}\{g(x)-f(x)\}=0$
- (가) ${lim}_{x\to 2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}$의 값은 존재하지 않는다. (즉, $x=2$에서 미분불가능)
- (나) $x\ge a$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(-x)=-g(x)$를 만족시키는 실수 $a$의 최솟값은 4이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 사차함수의 식을 설정하고, 연속함수 $g(x)$가 $y=x$ 또는 $y=f(x)$를 선택하여 구성됨을 이해한 후, 미분불가능 조건과 기함수 조건을 이용하여 $f(x)$를 특정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 극한 조건을 이용하여 $f(x)$의 식을 설정하고, $g(x)$가 $y=x$와 $y=f(x)$의 교점에서만 갈아탈 수 있음을 파악합니다.

step2. 조건 (가)를 이용하여 $x=2$가 교점임을 알아내고 $f(x)-x$의 식을 세웁니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 $x=4$ 또는 $x=-4$가 교점임을 알아내고 두 가지 경우로 나눕니다.

step4. 각 경우에 대해 $g(x)$의 구간별 식을 확정하고 $\frac{g(-2)}{g(3)}$의 값을 구하여 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 미분법: ${lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$에서 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$을 도출합니다.

- 연속함수의 성질: $g(x)$가 연속이므로 $y=x$와 $y=f(x)$가 만나는 교점에서만 함수를 갈아탈 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

step1. 극한 조건을 이용하여 $f(x)$의 식을 설정하고, $g(x)$의 성질을 파악합니다.

$f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 $f(x)=x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s$로 둘 수 있습니다.

${lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$이므로 $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$입니다.

따라서 $s=0$, $r=1$이 되어 $f(x)=x^4+p{x}^3+q{x}^2+x$입니다.

주어진 조건 $\{g(x)-x\}\{g(x)-f(x)\}=0$에서 모든 실수 $x$에 대해 $g(x)=x$ 또는 $g(x)=f(x)$입니다.

$g(x)$는 실수 전체에서 연속이므로, $g(x)$가 $x$에서 $f(x)$로 (또는 그 반대로) 바뀌려면 두 그래프가 만나는 교점, 즉 $f(x)=x$인 점에서만 가능합니다.

$f(x)-x=x^4+p{x}^3+q{x}^2=x^2(x^2+px+q)=0$이므로, 교점의 $x$좌표는 $x=0$ (중근)과 $x^2+px+q=0$의 실근입니다.

step2. 조건 (가)를 이용하여 $x=2$가 교점임을 알아냅니다.

조건 (가)에서 $g(x)$는 $x=2$에서 미분불가능합니다.

$g(x)$가 미분불가능하려면 $x=2$에서 함수를 갈아타야 하므로 $x=2$는 교점이어야 합니다. 즉, $f(2)=2$입니다.

$f(2)-2=4(4+2p+q)=0$에서 $q=-2p-4$입니다.

$x^2+px+q=x^2+px-2p-4=(x-2)(x+p+2)=0$이므로, 다른 한 근을 $\alpha$라 하면 $\alpha =-p-2$입니다.

따라서 교점은 $x=0,2,\alpha$입니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 $\alpha$의 값을 구합니다.

[키포인트] 조건 (나)에서 $x\ge a$일 때 $g(-x)=-g(x)$를 만족하는 $a$의 최솟값이 4라는 것은, $x=4$ 또는 $x=-4$에서 $g(x)$가 함수를 갈아탄다는 것을 의미합니다.

$f(x)$는 기함수가 아니므로 $x\ge 4$와 $x\le -4$에서는 무조건 $g(x)=x$이어야 합니다.

함수를 갈아탈 수 있는 점은 교점뿐이므로 $\alpha =4$ 또는 $\alpha =-4$입니다.

step4. 각 경우에 대해 $g(x)$를 확정하고 값을 계산합니다.

경우 1: $\alpha =4$일 때

$f(x)-x=x^2(x-2)(x-4)$이므로 $f(x)=x^4-6x^3+8x^2+x$입니다.

$g(x)$는 $x=2,4$에서 갈아타야 하므로 구간별로 다음과 같이 결정됩니다.

- $x\ge 4$에서 $g(x)=x$

- $x\in (2,4)$에서 $g(x)=f(x)$

- $x\in (0,2)$에서 $g(x)=x$

- $x\le 0$에서 $g(x)=x$ (교점이 없으므로 계속 유지)

이때 $g(3)=f(3)=3^4-6(3^3)+8(3^2)+3=-6$이고, $g(-2)=-2$입니다.

따라서 $\frac{g(-2)}{g(3)}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$입니다.

경우 2: $\alpha =-4$일 때

$f(x)-x=x^2(x-2)(x+4)$이므로 $f(x)=x^4+2x^3-8x^2+x$입니다.

$g(x)$는 $x=-4,2$에서 갈아타야 하므로 구간별로 다음과 같이 결정됩니다.

- $x\ge 2$에서 $g(x)=x$ (교점이 없으므로 계속 유지)

- $x\in (0,2)$에서 $g(x)=f(x)$

- $x\in (-4,0)$에서 $g(x)=f(x)$

- $x\le -4$에서 $g(x)=x$

[함정경고] 여기서 $x\in (-4,0)$일 때 $g(x)=x$로 착각하기 쉽습니다. 만약 $g(x)=x$라면 $x\in (2,4)$에서 $g(-x)=-x=-g(x)$가 성립하여 $a$의 최솟값이 2가 되므로 조건 (나)에 위배됩니다.

이때 $g(3)=3$이고, $g(-2)=f(-2)=(-2{)}^4+2(-2{)}^3-8(-2{)}^2+(-2)=-34$입니다.

따라서 $\frac{g(-2)}{g(3)}=\frac{-34}{3}$입니다.

두 경우의 값을 합하면 $\frac{1}{3}+(-\frac{34}{3})=-\frac{33}{3}=-11$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. f(x) 설정

${lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1⟹f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$

$f(x)=x^4+p{x}^3+q{x}^2+x$

$f(x)-x=x^2(x^2+px+q)=0$   --- (교점에서만 g(x)가 갈아탈 수 있음)

step2. 조건 (가) 분석

$x=2$에서 미분불가능 $⟹x=2$에서 갈아탐 $⟹f(2)=2$

$4+2p+q=0⟹q=-2p-4$

$x^2+px-2p-4=(x-2)(x+p+2)=0$

교점: $x=0,2,\alpha$   --- $\alpha =-p-2$

step3. 조건 (나) 분석

$a$의 최솟값이 4 $⟹x=4$ 또는 $x=-4$에서 갈아탐

$\therefore \alpha =4$ 또는 $\alpha =-4$

step4. 경우 나누어 계산

[경우 1] $\alpha =4$

$f(x)-x=x^2(x-2)(x-4)$

$f(x)=x^4-6x^3+8x^2+x$

$g(x)$는 $x\in (2,4)$에서 $f(x)$, 나머지에서 $x$

$g(3)=f(3)=-6,g(-2)=-2⟹\frac{g(-2)}{g(3)}=\frac{1}{3}$

[경우 2] $\alpha =-4$

$f(x)-x=x^2(x-2)(x+4)$

$f(x)=x^4+2x^3-8x^2+x$

$g(x)$는 $x\in (-4,2)$에서 $f(x)$, 나머지에서 $x$

$g(3)=3,g(-2)=f(-2)=-34⟹\frac{g(-2)}{g(3)}=-\frac{34}{3}$

\therefore $\frac{1}{3}-\frac{34}{3}=-11$

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