2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+3)=30,{\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=53$ 일 때, ${\sum }_{k=1}^5{b}_k$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 선형적 성질을 이용하여 주어진 식을 분리하고, 미지수인 $\sum b_k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^5(a_k+3)=30$
- ${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=53$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 성질을 이용하여 식을 전개하고 값을 대입하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 조건식을 시그마의 성질을 이용하여 전개한 후, ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값을 구합니다.

step2. 두 번째 조건식을 시그마의 성질을 이용하여 전개합니다.

step3. step1에서 구한 값을 step2의 식에 대입하여 ${\sum }_{k=1}^5{b}_k$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질: ${\sum }_{k=1}^n(c{a}_k+d{b}_k)=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k+d{\sum }_{k=1}^n{b}_k$ (단, $c,d$는 상수)

- 상수의 시그마: ${\sum }_{k=1}^{n}c=cn$ (단, $c$는 상수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 시그마($\sum$) 기호 안의 덧셈과 상수는 밖으로 분리해서 계산할 수 있습니다.

step1. 첫 번째 조건식을 전개하여 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값을 구합니다.

주어진 식 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+3)=30$을 시그마의 성질을 이용하여 분리하면 다음과 같습니다.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^{5}3=30$

여기서 ${\sum }_{k=1}^{5}3$은 3을 5번 더한다는 의미이므로 $3\times 5=15$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 ${\sum }_{k=1}^{5}3$을 그냥 3으로 착각하기 쉽습니다. 상수는 항의 개수만큼 곱해주어야 합니다.

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+15=30$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=15$

step2. 두 번째 조건식을 전개합니다.

주어진 식 ${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=53$을 시그마의 성질을 이용하여 분리하면 다음과 같습니다.

$2{\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$

step3. 값을 대입하여 정답을 도출합니다.

step1. 에서 구한 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k=15$를 step2의 식에 대입합니다.

$2\times 15+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$

$30+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$

${\sum }_{k=1}^5{b}_k=53-30=23$

따라서 구하고자 하는 값은 23입니다.

[정답] 23

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 조건식 정리

${\sum }_{k=1}^5(a_k+3)=30$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+15=30$   --- (상수의 합은 $3\times 5$)

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=15$

step2. 두 번째 조건식 전개 및 대입

${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=53$

$2{\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$   --- (시그마의 성질 이용)

$2(15)+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$   --- (앞서 구한 값 대입)

$30+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=53$

step3. 정답 도출

${\sum }_{k=1}^5{b}_k=23$

$\therefore 23$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기