2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 도함수의 활용)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1이고 $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 양수 $a$와 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(t)+g(t-4)$는 $t=0$과 $t=a$에서만 불연속이다. $f(a)$의 최솟값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수의 그래프와 상수함수의 교점의 개수 함수의 불연속성을 분석하여 삼차함수의 극값을 추론하고, 이를 바탕으로 함숫값의 최솟값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$
- $f(0)=0$
- $g(t)$는 $y=f(x)$와 $y=t$의 교점의 개수
- $a>0$
- $h(t)=g(t)+g(t-4)$는 $t=0$과 $t=a$에서만 불연속

3. 풀이의 순서

이 문제는 새롭게 정의된 함수의 불연속 조건을 해석하여 삼차함수의 극값을 찾고, 이를 통해 함수식을 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 교점의 개수 함수 $g(t)$의 불연속점을 파악합니다.

step2. $h(t)=g(t)+g(t-4)$의 불연속점이 2개가 되기 위한 조건을 찾습니다.

step3. 불연속점의 위치를 통해 $a$의 값과 삼차함수의 극댓값, 극솟값을 결정합니다.

step4. $f(0)=0$ 조건을 이용하여 가능한 삼차함수 $f(x)$의 식을 모두 구합니다.

step5. 구한 $f(x)$에 대해 $f(a)$의 값을 계산하고 최솟값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼차함수의 그래프와 교점의 개수: 최고차항이 양수인 삼차함수 $f(x)$가 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 가질 때, $y=f(x)$와 $y=t$의 교점의 개수 $g(t)$는 $t=m,M$에서 불연속이다.

- 삼차함수의 극값의 차이 공식: 삼차함수 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$가 $x=\alpha ,\beta$에서 극값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차이는 $\frac{|a|}{2}(\beta -\alpha {)}^3$이다.

- 삼차함수의 비율 관계: 삼차함수의 그래프가 극대(또는 극소)에서 접선을 그을 때, 접점과 다시 만나는 교점 사이의 거리 비는 $2:1$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $g(t)$의 불연속점을 파악하고, 평행이동된 함수와의 합이 특정한 점에서만 불연속이 되도록 하는 조건을 찾는 것이 핵심입니다.

step1. 교점의 개수 함수 $g(t)$의 불연속점을 파악합니다.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않는다면, $g(t)=1$이 되어 $g(t)+g(t-4)=2$로 항상 연속이 됩니다. 이는 조건에 모순이므로 $f(x)$는 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 가져야 합니다.

이때 $g(t)$는 $t=m$과 $t=M$에서만 불연속이 됩니다.

step2. $h(t)=g(t)+g(t-4)$의 불연속점이 2개가 되기 위한 조건을 찾습니다.

$g(t)$는 $t=m,M$에서 불연속이고, $g(t-4)$는 $t=m+4,M+4$에서 불연속입니다.

$h(t)$의 불연속점 후보는 $m,M,m+4,M+4$입니다.

불연속점이 2개뿐이려면 이 후보들 중 일부가 겹쳐야 합니다. $m<M$이고 $m+4<M+4$이므로, 겹칠 수 있는 유일한 경우는 $M=m+4$일 때입니다.

이 경우 불연속점 후보는 $m,m+4,m+8$이 됩니다.

step3. 불연속점의 위치를 통해 $a$의 값과 삼차함수의 극댓값, 극솟값을 결정합니다.

$M=m+4$일 때, 각 후보점에서 $h(t)$의 연속성을 확인해 봅니다.

- $t=m$에서: ${lim}_{t\to m^{-}}h(t)=1+1=2$, $h(m)=2+1=3$ 이므로 불연속입니다.

- $t=m+8$에서: ${lim}_{t\to (m+8{)}^{+}}h(t)=1+1=2$, $h(m+8)=1+2=3$ 이므로 불연속입니다.

- $t=m+4$에서: ${lim}_{t\to (m+4{)}^{-}}h(t)=3+1=4$, $h(m+4)=2+2=4$, ${lim}_{t\to (m+4{)}^{+}}h(t)=1+3=4$ 이므로 연속입니다!

따라서 $h(t)$는 $t=m$과 $t=m+8$에서만 불연속입니다.

조건에서 불연속점이 $t=0$과 $t=a$ ($a>0$)라고 했으므로, $m=0$이고 $m+8=a$가 되어 $a=8$입니다.

결과적으로 $f(x)$는 극솟값 $m=0$, 극댓값 $M=4$를 갖습니다.

step4. $f(0)=0$ 조건을 이용하여 가능한 삼차함수 $f(x)$의 식을 모두 구합니다.

$f(x)$가 $x=\alpha$에서 극대, $x=\beta$에서 극소를 갖는다고 합시다. ($\alpha <\beta$)

삼차함수의 극값의 차이 공식을 이용하면, $4-0=\frac{1}{2}(\beta -\alpha {)}^3$에서 $\beta -\alpha =2$입니다.

$f(x)$는 $x=\beta$에서 $x$축($y=0$)에 접하므로, 삼차함수의 비율 관계에 의해 $f(x)=(x-\beta {)}^2(x-(\beta -3))$으로 식을 세울 수 있습니다.

조건에서 $f(0)=0$이므로 대입하면 ${\beta }^2(3-\beta )=0$입니다.

따라서 $\beta =0$ 또는 $\beta =3$입니다.

[함정경고] $f(0)=0$이라는 조건만 보고 원점을 지나는 것만 생각하여 $\beta =0$인 경우만 고려하기 쉽습니다. $\beta =3$인 경우도 반드시 확인해야 합니다.

step5. 구한 $f(x)$에 대해 $f(a)$의 값을 계산하고 최솟값을 도출합니다.

- 경우 1: $\beta =0$일 때, $f(x)=x^2(x+3)$입니다.

$a=8$이므로 $f(8)=8^2\times 11=704$입니다.

- 경우 2: $\beta =3$일 때, $f(x)=(x-3{)}^{2}x$입니다.

$a=8$이므로 $f(8)=5^2\times 8=200$입니다.

따라서 $f(a)$의 최솟값은 200입니다.

[정답] 200

⚡ 실전용 풀이

step1. g(t) 불연속점

$f(x)$ 극값 없으면 $g(t)=1$ $⟹$ $h(t)=2$   --- 연속, 모순

$\therefore f(x)$는 극댓값 $M$, 극솟값 $m$ 가짐

$g(t)$ 불연속점: $t=m,M$

step2. h(t) 불연속점 조건

$g(t-4)$ 불연속점: $t=m+4,M+4$

$h(t)$ 불연속점 후보: $m,M,m+4,M+4$

불연속점 2개이려면 겹쳐야 함 $⟹M=m+4$

후보: $m,m+4,m+8$

step3. a, M, m 결정

$t=m+4$에서 연속 확인:

${lim}_{t\to (m+4{)}^{-}}h(t)=3+1=4$

$h(m+4)=2+2=4$

${lim}_{t\to (m+4{)}^{+}}h(t)=1+3=4$   --- 연속

$\therefore$ 불연속점은 $t=m,m+8$

조건에 의해 $m=0,m+8=a⟹a=8,M=4$

step4. f(x) 식 도출

극값 차이: $\frac{1}{2}(\beta -\alpha {)}^3=4⟹\beta -\alpha =2$

비율 관계: $f(x)=(x-\beta {)}^2(x-(\beta -3))$

$f(0)={\beta }^2(3-\beta )=0⟹\beta =0$ 또는 $\beta =3$

step5. 최솟값 계산

$\beta =0$: $f(x)=x^2(x+3)⟹f(8)=64\times 11=704$

$\beta =3$: $f(x)=(x-3{)}^{2}x⟹f(8)=25\times 8=200$

$\therefore$ 최솟값 200

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