2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

양수 $t$에 대하여 닫힌구간 $[0,\frac{2}{t}]$에서 정의된 두 함수 $f(x)=\sqrt{3}\sin (t\pi x)$, $g(x)=-3\cos (t\pi x)$가 있다. $0<k<\frac{2}{t}$인 상수 $k$에 대하여 $f(k)=g(k)=3k$일 때, $60(t+k)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 성질과 삼각방정식을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 미지수 $t$와 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $t>0$
- 닫힌구간 $[0,\frac{2}{t}]$에서 정의된 두 함수 $f(x)=\sqrt{3}\sin (t\pi x)$, $g(x)=-3\cos (t\pi x)$
- $0<k<\frac{2}{t}$
- $f(k)=g(k)=3k$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식을 풀어 $t\pi k$의 값을 구한 후, 주어진 조건을 만족하는 $t$와 $k$를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $f(k)=g(k)$를 이용하여 $\tan (t\pi k)$의 값을 구합니다.

step2. 주어진 범위 내에서 $t\pi k$의 가능한 값을 찾습니다.

step3. 각 경우에 대해 $f(k)=3k$를 이용하여 $k$와 $t$의 값을 구하고, 조건에 맞는 해를 선택합니다.

step4. 구한 $t$와 $k$를 이용하여 최종 식의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 관계: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

- 특수각의 삼각비: $\tan (\frac{2\pi }{3})=-\sqrt{3}$, $\sin (\frac{2\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

5. 구체적 풀이

[키포인트] $f(k)=g(k)$라는 조건에서 사인과 코사인이 같아지는 지점을 찾기 위해 탄젠트 함수를 활용하는 것이 핵심입니다.

step1. $f(k)=g(k)$를 이용하여 $\tan (t\pi k)$의 값을 구합니다.

주어진 조건에 의해 $\sqrt{3}\sin (t\pi k)=-3\cos (t\pi k)$가 성립합니다.

양변을 $\sqrt{3}\cos (t\pi k)$로 나누면 $\frac{\sin (t\pi k)}{\cos (t\pi k)}=-\sqrt{3}$이 됩니다.

따라서 $\tan (t\pi k)=-\sqrt{3}$입니다.

step2. 주어진 범위 내에서 $t\pi k$의 가능한 값을 찾습니다.

문제에서 $0<k<\frac{2}{t}$이므로, 각도 $t\pi k$의 범위는 $0<t\pi k<2\pi$가 됩니다.

이 범위에서 $\tan (t\pi k)=-\sqrt{3}$을 만족하는 각도는 제2사분면과 제4사분면에 존재하며, 그 값은 $t\pi k=\frac{2\pi }{3}$ 또는 $t\pi k=\frac{5\pi }{3}$입니다.

step3. 각 경우에 대해 $f(k)=3k$를 이용하여 $k$와 $t$의 값을 구하고, 조건에 맞는 해를 선택합니다.

[함정경고] 두 가지 경우 중 $k>0$ 조건을 만족하는 경우만 선택해야 합니다. 음수 값이 나오는 경우를 무심코 답으로 취하지 않도록 주의하세요.

첫 번째 경우: $t\pi k=\frac{2\pi }{3}$일 때

$f(k)=\sqrt{3}\sin (\frac{2\pi }{3})=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$입니다.

조건에서 $f(k)=3k$이므로 $3k=\frac{3}{2}$에서 $k=\frac{1}{2}$이 됩니다. 이는 $k>0$ 조건을 만족합니다.

$k=\frac{1}{2}$을 $t\pi k=\frac{2\pi }{3}$에 대입하면 $t\pi \times \frac{1}{2}=\frac{2\pi }{3}$이 되어 $t=\frac{4}{3}$를 얻습니다. 이는 $t>0$ 조건도 만족합니다.

두 번째 경우: $t\pi k=\frac{5\pi }{3}$일 때

$f(k)=\sqrt{3}\sin (\frac{5\pi }{3})=\sqrt{3}\times (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}$입니다.

조건에서 $f(k)=3k$이므로 $3k=-\frac{3}{2}$에서 $k=-\frac{1}{2}$이 됩니다.

하지만 문제에서 $k>0$이라고 했으므로 이 경우는 모순입니다.

따라서 조건을 만족하는 값은 $k=\frac{1}{2}$, $t=\frac{4}{3}$입니다.

step4. 구한 $t$와 $k$를 이용하여 최종 식의 값을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 $60(t+k)$이므로,

$60(t+k)=60(\frac{4}{3}+\frac{1}{2})=60\times \frac{11}{6}=110$입니다.

[정답] 110

⚡ 실전용 풀이

step1. f(k)=g(k) 풀이

$\sqrt{3}\sin (t\pi k)=-3\cos (t\pi k)$

$\tan (t\pi k)=-\sqrt{3}$

step2. tπk 값 찾기

$0<k<\frac{2}{t}⟹0<t\pi k<2\pi$

$t\pi k=\frac{2\pi }{3}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}$

step3. k와 t 구하기

$t\pi k=\frac{2\pi }{3}$ 일 때,

$f(k)=\sqrt{3}\sin (\frac{2\pi }{3})=\frac{3}{2}$

$3k=\frac{3}{2}⟹k=\frac{1}{2}>0$

$t\pi (\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}⟹t=\frac{4}{3}$

$t\pi k=\frac{5\pi }{3}$ 일 때,

$f(k)=\sqrt{3}\sin (\frac{5\pi }{3})=-\frac{3}{2}$

$3k=-\frac{3}{2}⟹k=-\frac{1}{2}<0$   --- 모순

step4. 최종 계산

$60(t+k)=60(\frac{4}{3}+\frac{1}{2})=60(\frac{11}{6})=110$

$\therefore 110$

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