2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

모든 항이 실수인 수열 {$a_n$}이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1\times a_2>0$ (나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}{a}_n^2\hfill & (a_n\le 0)\hfill \\ -2a_n+3\hfill & (a_n>0)\hfill \end{array}$ 이다. $a_3=a_5$가 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합이 $\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 점화식을 이용하여 $a_3=a_5$를 만족하는 $a_3$의 값을 먼저 찾고, 이를 역추적하여 조건 (가)를 만족하는 $a_1$의 값을 모두 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 항이 실수인 수열 {$a_n$}
- (가) $a_1\times a_2>0$
- (나) $a_{n+1}=a_n^2(a_n\le 0)$
- (나) $a_{n+1}=-2a_n+3(a_n>0)$
- $a_3=a_5$

3. 풀이의 순서

이 문제는 $a_3=a_5$ 조건을 만족하는 $a_3$의 값을 먼저 구하고, 점화식을 역으로 추적하여 $a_1$을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a_3=k$로 두고, $k$의 부호에 따라 경우를 나누어 $a_5$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. $a_3=a_5$ 방정식을 풀어 가능한 $a_3$의 값을 모두 구합니다.

step3. 구한 $a_3$의 값들로부터 점화식을 역으로 계산하여 $a_2$, $a_1$의 후보를 찾습니다.

step4. 조건 (가) $a_1\times a_2>0$을 만족하는 $a_1$만 선별하여 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 결정되는 규칙을 이용하여 수열의 항을 구하거나 역추적하는 방법입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $a_3$에서 $a_5$로 가는 과정은 두 번의 점화식 적용이 필요하므로, $a_3$의 부호와 크기에 따라 경우를 나누어 $a_3$의 값을 먼저 확정하는 것이 핵심입니다.

step1. $a_3=k$로 두고 $a_5$ 구하기

$a_3=k$라고 합시다.

(1) $k\le 0$인 경우

$a_4=k^2$이 됩니다. $k\le 0$이므로 $k^2\ge 0$입니다.

- 만약 $k=0$이면, $a_4=0$이고 $a_4\le 0$이므로 $a_5=0^2=0$입니다.

- 만약 $k<0$이면, $a_4=k^2>0$이므로 $a_5=-2a_4+3=-2k^2+3$이 됩니다.

(2) $k>0$인 경우

$a_4=-2k+3$이 됩니다. 여기서 $a_4$의 부호에 따라 다시 나뉩니다.

- $a_4\le 0$인 경우 (즉, $-2k+3\le 0⟹k\ge \frac{3}{2}$):

$a_5=a_4^2=(-2k+3{)}^2=4k^2-12k+9$입니다.

- $a_4>0$인 경우 (즉, $-2k+3>0⟹0<k<\frac{3}{2}$):

$a_5=-2a_4+3=-2(-2k+3)+3=4k-3$입니다.

step2. $a_3=a_5$를 만족하는 $a_3$ 구하기

위에서 나눈 각 경우에 대해 $k=a_5$ 방정식을 풉니다.

(1) $k=0$일 때: $a_5=0$이므로 $0=0$ 성립. 따라서 $a_3=0$ 가능.

(2) $k<0$일 때: $k=-2k^2+3⟹2k^2+k-3=0⟹(2k+3)(k-1)=0$.

$k<0$이므로 $k=-\frac{3}{2}$. 따라서 $a_3=-\frac{3}{2}$ 가능.

(3) $k\ge \frac{3}{2}$일 때: $k=4k^2-12k+9⟹4k^2-13k+9=0⟹(4k-9)(k-1)=0$.

$k\ge \frac{3}{2}$이므로 $k=\frac{9}{4}$. 따라서 $a_3=\frac{9}{4}$ 가능.

(4) $0<k<\frac{3}{2}$일 때: $k=4k-3⟹3k=3⟹k=1$.

조건에 맞으므로 $a_3=1$ 가능.

결과적으로 가능한 $a_3$의 값은 $0,-\frac{3}{2},\frac{9}{4},1$입니다.

step3. 역추적하여 $a_1$ 구하기

점화식을 역으로 정리하면 다음과 같습니다.

- $a_{n-1}\le 0$일 때 $a_n=a_{n-1}^2⟹a_{n-1}=-\sqrt{a_n}$ (단, $a_n\ge 0$)

- $a_{n-1}>0$일 때 $a_n=-2a_{n-1}+3⟹a_{n-1}=\frac{3-a_n}{2}$ (단, $a_n<3$)

[함정경고] 역추적 과정에서 구한 $a_{n-1}$이 원래 점화식의 조건($a_{n-1}\le 0$ 또는 $a_{n-1}>0$)을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.

조건 (가) $a_1\times a_2>0$은 $a_1$과 $a_2$가 모두 양수이거나 모두 음수임을 의미합니다. (0은 불가)

(1) $a_3=0$인 경우

$a_2=-\sqrt{0}=0$ (불가, $a_1\times a_2=0$이 됨)

$a_2=\frac{3-0}{2}=\frac{3}{2}>0$.

$a_2=\frac{3}{2}$에서 $a_1=-\sqrt{\frac{3}{2}}<0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

$a_1=\frac{3-3/2}{2}=\frac{3}{4}>0$ (성립, $a_1{a}_2>0$). $\therefore a_1=\frac{3}{4}$

(2) $a_3=-\frac{3}{2}$인 경우

$a_2=-\sqrt{-3/2}$ (실수 아님)

$a_2=\frac{3-(-3/2)}{2}=\frac{9}{4}>0$.

$a_2=\frac{9}{4}$에서 $a_1=-\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{3}{2}<0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

$a_1=\frac{3-9/4}{2}=\frac{3}{8}>0$ (성립, $a_1{a}_2>0$). $\therefore a_1=\frac{3}{8}$

(3) $a_3=\frac{9}{4}$인 경우

$a_2=-\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{3}{2}\le 0$.

$a_2=-\frac{3}{2}$에서 $a_1=-\sqrt{-3/2}$ (실수 아님)

$a_1=\frac{3-(-3/2)}{2}=\frac{9}{4}>0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

또는 $a_2=\frac{3-9/4}{2}=\frac{3}{8}>0$.

$a_2=\frac{3}{8}$에서 $a_1=-\sqrt{\frac{3}{8}}<0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

$a_1=\frac{3-3/8}{2}=\frac{21}{16}>0$ (성립, $a_1{a}_2>0$). $\therefore a_1=\frac{21}{16}$

(4) $a_3=1$인 경우

$a_2=-\sqrt{1}=-1\le 0$.

$a_2=-1$에서 $a_1=-\sqrt{-1}$ (실수 아님)

$a_1=\frac{3-(-1)}{2}=2>0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

또는 $a_2=\frac{3-1}{2}=1>0$.

$a_2=1$에서 $a_1=-\sqrt{1}=-1<0$ (불가, $a_1{a}_2<0$)

$a_1=\frac{3-1}{2}=1>0$ (성립, $a_1{a}_2>0$). $\therefore a_1=1$

step4. 모든 $a_1$의 합 구하기

조건을 만족하는 $a_1$은 $\frac{3}{4},\frac{3}{8},\frac{21}{16},1$입니다.

합 = $\frac{12}{16}+\frac{6}{16}+\frac{21}{16}+\frac{16}{16}=\frac{55}{16}$

따라서 $p=16,q=55$이며, $p+q=71$입니다.

[정답] 71

⚡ 실전용 풀이

step1. $a_3=k$로 두고 $a_5$ 구하기

$k\le 0$:

$a_4=k^2\ge 0$

$k=0⟹a_4=0⟹a_5=0$

$k<0⟹a_4>0⟹a_5=-2k^2+3$

$k>0$:

$a_4=-2k+3$

$a_4\le 0(k\ge \frac{3}{2})⟹a_5=(-2k+3{)}^2=4k^2-12k+9$

$a_4>0(0<k<\frac{3}{2})⟹a_5=-2(-2k+3)+3=4k-3$

step2. $a_3=a_5$를 만족하는 $a_3$ 구하기

$k=0⟹0=0⟹a_3=0$

$k<0⟹k=-2k^2+3⟹2k^2+k-3=0⟹k=-\frac{3}{2}$

$k\ge \frac{3}{2}⟹k=4k^2-12k+9⟹4k^2-13k+9=0⟹k=\frac{9}{4}$

$0<k<\frac{3}{2}⟹k=4k-3⟹k=1$

$\therefore a_3\in \{0,-\frac{3}{2},\frac{9}{4},1\}$

step3. 역추적하여 $a_1$ 구하기

$a_{n-1}=-\sqrt{a_n}(a_{n-1}\le 0)$ 또는 $a_{n-1}=\frac{3-a_n}{2}(a_{n-1}>0)$

$a_1{a}_2>0$ 조건 확인

$a_3=0⟹a_2=\frac{3}{2}⟹a_1=\frac{3}{4}$

$a_3=-\frac{3}{2}⟹a_2=\frac{9}{4}⟹a_1=\frac{3}{8}$

$a_3=\frac{9}{4}⟹a_2=-\frac{3}{2}⟹a_1=\frac{9}{4}(a_1{a}_2<0\text{ 불가})$

$\text{또는 }{a}_2=\frac{3}{8}⟹a_1=\frac{21}{16}$

$a_3=1⟹a_2=-1⟹a_1=2(a_1{a}_2<0\text{ 불가})$

$\text{또는 }{a}_2=1⟹a_1=1$

step4. 모든 $a_1$의 합 구하기

$\sum a_1=\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{21}{16}+1=\frac{12+6+21+16}{16}=\frac{55}{16}$

$p=16,q=55⟹p+q=71$

$\therefore 71$

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