2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (지수부등식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 부등식 $2^{|x|}+\frac{64}{2^{|x|}}\le 20$ 을 만족시키는 정수 $x$의 개수는? [3점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙과 치환을 이용하여 지수부등식을 풀고, 절댓값이 포함된 부등식을 만족하는 정수 해의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: $2^{|x|}+\frac{64}{2^{|x|}}\le 20$
- $x$는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통부분을 치환하여 이차부등식으로 변환한 후, 절댓값 부등식을 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $2^{|x|}=t$ 로 치환하여 주어진 부등식을 $t$에 대한 이차부등식으로 변환합니다.

step2. $t$에 대한 이차부등식을 풀어 $t$의 범위를 구합니다.

step3. 치환했던 $t$를 다시 $2^{|x|}$로 되돌려 $|x|$의 범위를 구합니다.

step4. $|x|$의 범위를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환을 이용한 부등식 풀이: 복잡한 식에서 공통부분이 있을 때, 이를 하나의 문자로 치환하여 간단한 형태의 부등식으로 바꾸어 풉니다. 이때 치환한 문자의 범위에 주의해야 합니다.

- 지수부등식의 성질: $a>1$ 일 때, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ 이면 $f(x)\le g(x)$ 입니다.

5. 구체적 풀이

step1. $2^{|x|}=t$ 로 치환하여 주어진 부등식을 $t$에 대한 이차부등식으로 변환합니다.

주어진 부등식은 $2^{|x|}+\frac{64}{2^{|x|}}\le 20$ 입니다.

여기서 공통부분인 $2^{|x|}$를 $t$로 치환합니다.

[함정경고] 치환할 때는 항상 새로운 변수의 범위를 확인해야 합니다. $|x|\ge 0$ 이므로 $t=2^{|x|}\ge 2^0=1$ 입니다. 즉, $t>0$ 입니다.

부등식을 $t$로 나타내면 $t+\frac{64}{t}\le 20$ 이 됩니다.

step2. $t$에 대한 이차부등식을 풀어 $t$의 범위를 구합니다.

$t>0$ 이므로 양변에 $t$를 곱해도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.

$t^2+64\le 20t$

우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리하면,

$t^2-20t+64\le 0$

좌변을 인수분해하면,

$(t-4)(t-16)\le 0$

따라서 $t$의 범위는 $4\le t\le 16$ 입니다. (이는 $t\ge 1$ 조건도 만족합니다.)

step3. 치환했던 $t$를 다시 $2^{|x|}$로 되돌려 $|x|$의 범위를 구합니다.

[키포인트] 구한 $t$의 범위를 원래 변수인 $x$에 대한 식으로 되돌려 지수부등식을 풉니다.

$4\le 2^{|x|}\le 16$

$4$와 $16$을 밑이 $2$인 거듭제곱으로 나타내면,

$2^2\le 2^{|x|}\le 2^4$

밑이 $2$로 $1$보다 크므로, 지수의 대소 관계는 부등호 방향 그대로 유지됩니다.

따라서 $2\le |x|\le 4$ 입니다.

step4. $|x|$의 범위를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구합니다.

$2\le |x|\le 4$ 를 만족하는 정수 $x$는

양수일 때: $x=2,3,4$

음수일 때: $x=-2,-3,-4$

따라서 조건을 만족하는 정수 $x$는 총 6개입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환 및 이차부등식 변환

$2^{|x|}=t$ ($t\ge 1$) 로 치환

$t+\frac{64}{t}\le 20$

step2. 이차부등식 풀이

$t^2-20t+64\le 0$   --- (양변에 $t>0$ 곱함)

$(t-4)(t-16)\le 0$

$4\le t\le 16$

step3. 원래 변수로 환원

$4\le 2^{|x|}\le 16$

$2^2\le 2^{|x|}\le 2^4$

$2\le |x|\le 4$   --- (밑이 1보다 크므로 부등호 방향 유지)

step4. 정수 해 개수 구하기

$x=\pm 2,\pm 3,\pm 4$

$\therefore 6개$

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