2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (미분과 적분)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$가 $f^{\prime }(x)=x^2-kx+k-1,f(0)=2$를 만족시킨다. 함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않을 때, $f(3)$의 값은? (단, $k$는 상수이다.) ① 2 ② 5 ③ 8 ④ 11 ⑤ 14

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수의 부호 변화와 극값의 관계를 이해하고, 이차방정식의 판별식을 이용하여 조건을 만족하는 상수를 구한 뒤, 부정적분을 통해 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- $f^{\prime }(x)=x^2-kx+k-1$
- $f(0)=2$
- 함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않음
- $k$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수의 부호 변화 조건과 판별식을 이용하여 미지수를 구하고, 부정적분으로 함수를 완성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수가 극값을 갖지 않을 조건을 도함수의 판별식으로 나타냅니다.

step2. 판별식 조건을 풀어 상수 $k$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $k$를 대입하여 도함수를 완성하고, 부정적분과 초기 조건을 이용하여 함수 $f(x)$를 구합니다.

step4. 완성된 함수에 $x=3$을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 극값의 판정: 다항함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않으려면 도함수 $f^{\prime }(x)=0$의 좌우에서 부호 변화가 없어야 합니다. $f^{\prime }(x)$가 이차함수일 경우, 판별식 $D\le 0$이어야 합니다.

- 부정적분: $f^{\prime }(x)$를 적분하여 $f(x)$를 구할 때, 적분상수 $C$가 발생하며 이는 주어진 함숫값으로 결정합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 함수가 극값을 갖지 않을 조건을 도함수의 판별식으로 나타냅니다.

다항함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않으려면, 도함수 $f^{\prime }(x)$의 부호가 바뀌는 점이 없어야 합니다.

주어진 도함수 $f^{\prime }(x)=x^2-kx+k-1$은 최고차항의 계수가 양수인 이차함수입니다.

따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime }(x)\ge 0$이어야 부호 변화가 일어나지 않습니다.

[키포인트] 이차함수가 항상 0 이상일 조건은 이차방정식의 판별식 $D\le 0$인 것입니다.

step2. 판별식 조건을 풀어 상수 $k$의 값을 구합니다.

이차방정식 $x^2-kx+k-1=0$의 판별식을 $D$라 하면,

$D=(-k{)}^2-4·1·(k-1)=k^2-4k+4$

$D\le 0$이어야 하므로,

$k^2-4k+4\le 0$

$(k-2{)}^2\le 0$

실수의 제곱은 항상 0 이상이므로, 이 부등식을 만족하는 실수 $k$는 $k=2$뿐입니다.

[함정경고] 여기서 판별식 $D<0$으로만 착각하기 쉽습니다. $D=0$일 때도 도함수가 $x$축에 접하기만 하고 부호는 바뀌지 않으므로 극값을 갖지 않습니다. 반드시 $D\le 0$으로 설정해야 합니다.

step3. 구한 $k$를 대입하여 도함수를 완성하고, 부정적분과 초기 조건을 이용하여 함수 $f(x)$를 구합니다.

$k=2$를 도함수에 대입하면,

$f^{\prime }(x)=x^2-2x+1$

이제 $f(x)$를 구하기 위해 $f^{\prime }(x)$를 부정적분합니다.

$f(x)=\int (x^2-2x+1)dx=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+C$ (단, $C$는 적분상수)

주어진 조건에서 $f(0)=2$이므로, $x=0$을 대입하면 $C=2$가 됩니다.

따라서 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+2$입니다.

step4. 완성된 함수에 $x=3$을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

구하고자 하는 값은 $f(3)$이므로,

$f(3)=\frac{1}{3}(3{)}^3-(3{)}^2+3+2$

$f(3)=9-9+3+2=5$

따라서 $f(3)$의 값은 5입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. , 2. 판별식 조건

$f^{\prime }(x)=x^2-kx+k-1$

극값을 갖지 않으려면 $f^{\prime }(x)\ge 0$이어야 하므로

$D=k^2-4(k-1)\le 0$

$k^2-4k+4\le 0$

$(k-2{)}^2\le 0$

$\therefore k=2$

step3. 부정적분

$f^{\prime }(x)=x^2-2x+1$

$f(x)=\int (x^2-2x+1)dx=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+C$

$f(0)=2$이므로 $C=2$

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+2$

step4. 정답 도출

$f(3)=\frac{1}{3}(27)-9+3+2=9-9+5=5$

$\therefore 5$

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