(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 도함수의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

두 상수 $a,b$에 대하여 삼차함수 $f(x)=a{x}^3+bx+a$는 $x=1$에서 극소이다. 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$ 일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수의 극값의 성질을 이용하여 미정계수를 구하고, 이를 바탕으로 극댓값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=a{x}^3+bx+a$
- $x=1$에서 극소
- 극솟값은 $-2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 이용하여 미정계수를 구하고 극댓값을 찾는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $f^{\prime }(1)=0$임을 이용하여 $a$와 $b$의 관계식을 세웁니다.

step2. $f(1)=-2$임을 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구합니다.

step3. 완성된 $f(x)$의 도함수를 구하여 극댓값을 갖는 $x$의 위치를 찾고, 극댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 극값의 성질: 다항함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(c)=0$이다.

5. 구체적 풀이

step1. $f(x)=a{x}^3+bx+a$에서 도함수를 구하면 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$입니다. 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극소이므로 $f^{\prime }(1)=0$이어야 합니다. 따라서 $3a+b=0$이 되어 $b=-3a$라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

step2. $x=1$에서 극솟값이 $-2$이므로 $f(1)=-2$입니다. 이를 식에 대입하면 $a(1{)}^3+b(1)+a=-2$, 즉 $2a+b=-2$가 됩니다. 앞서 구한 $b=-3a$를 대입하면 $2a-3a=-2$이므로 $-a=-2$, 즉 $a=2$입니다. 따라서 $b=-6$이 됩니다.

step3. $a$와 $b$의 값을 대입하여 함수를 완성하면 $f(x)=2x^3-6x+2$입니다. 도함수는 $f^{\prime }(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$이 됩니다. $f^{\prime }(x)=0$을 만족하는 $x$의 값은 $x=1$과 $x=-1$입니다. $x=1$에서 극소이므로, $x=-1$에서 극대임을 알 수 있습니다. 따라서 극댓값은 $f(-1)=2(-1{)}^3-6(-1)+2=-2+6+2=6$입니다.

[키포인트] 다항함수가 특정 $x$에서 극값을 가지면 그 점에서의 미분계수가 $0$이 된다는 성질을 이용하여 미정계수를 구하는 것이 핵심입니다.

[함정경고] $f^{\prime }(1)=0$ 조건만 사용하고 $f(1)=-2$ 조건을 놓치면 $a,b$의 값을 확정할 수 없으므로, 두 조건을 모두 사용하여 연립방정식을 세워야 합니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. $f^{\prime }(1)=0$ 이용

$f(x)=a{x}^3+bx+a$

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$

$f^{\prime }(1)=3a+b=0⟹b=-3a$

step2. $f(1)=-2$ 이용

$f(1)=a+b+a=2a+b=-2$

$2a-3a=-2⟹a=2,b=-6$

step3. 극댓값 계산

$f(x)=2x^3-6x+2$

$f^{\prime }(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)=0$

$x=-1$에서 극대

$f(-1)=-2+6+2=6$

$\therefore 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극값을 가질 때의 조건인 $f^{\prime }(x)=0$과 함숫값 조건을 연립하여 미정계수를 구하는 과정에서 식을 세우지 못해 막힐 수 있습니다. 특히 극솟값이 주어졌을 때 이를 함숫값으로 연결하지 못하는 경우가 많습니다.

🔑 돌파구

$x=1$에서 극솟값 $-2$를 가진다는 것은 $f^{\prime }(1)=0$과 $f(1)=-2$라는 두 가지 조건을 동시에 의미함을 기억하고, 이를 연립하여 $a,b$를 구하세요. 극값 조건은 항상 미분계수와 함숫값 두 개의 힌트를 줍니다.

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