(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

부등식 $2^{x-6}\le (\frac{1}{4}{)}^x$ 을 만족시키는 모든 자연수 $x$ 의 값의 합을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 밑을 같게 만들어 지수부등식을 풀고, 조건을 만족하는 자연수 해의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: $2^{x-6}\le (\frac{1}{4}{)}^x$
- $x$는 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 밑을 통일하여 지수부등식을 일차부등식으로 변환하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 우변의 밑을 좌변과 같은 2로 변환합니다.

step2. 밑이 1보다 크다는 성질을 이용하여 지수끼리의 부등식을 세웁니다.

step3. 일차부등식을 풀고, 조건을 만족하는 자연수 $x$를 찾아 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

- 지수부등식의 성질: $a>1$ 일 때, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}⟺f(x)\le g(x)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수부등식을 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 양변의 '밑'을 같게 만들어 주는 것입니다.

step1. 우변의 밑을 좌변과 같은 2로 변환합니다.

우변의 밑인 $\frac{1}{4}$은 $2^{-2}$로 나타낼 수 있습니다.

따라서 우변은 $(\frac{1}{4}{)}^x=(2^{-2}{)}^x=2^{-2x}$ 가 됩니다.

주어진 부등식은 다음과 같이 바뀝니다.

$2^{x-6}\le 2^{-2x}$

step2. 밑이 1보다 크다는 성질을 이용하여 지수끼리의 부등식을 세웁니다.

밑인 2가 1보다 크므로, 부등호의 방향이 그대로 유지됩니다.

$x-6\le -2x$

[함정경고] 밑이 0과 1 사이일 때는 부등호의 방향이 반대로 바뀐다는 점을 놓치기 쉽습니다. 이 문제에서는 밑이 2이므로 방향이 그대로 유지됩니다.

step3. 일차부등식을 풀고, 조건을 만족하는 자연수 $x$를 찾아 그 합을 구합니다.

$-2x$를 좌변으로, $-6$을 우변으로 이항하여 정리하면,

$3x\le 6$

양변을 3으로 나누면,

$x\le 2$

문제에서 $x$는 자연수라고 했으므로, 이 부등식을 만족하는 자연수 $x$는 1과 2입니다.

따라서 모든 자연수 $x$의 값의 합은 $1+2=3$ 입니다.

[정답] 3

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 통일

$2^{x-6}\le (\frac{1}{4}{)}^x$

$2^{x-6}\le 2^{-2x}$   --- (밑을 2로 통일)

step2. 지수 부등식

$x-6\le -2x$   --- (밑이 1보다 크므로 부등호 방향 유지)

step3. 해 구하기

$3x\le 6$

$x\le 2$

자연수 $x=1,2$

$\therefore 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

밑을 통일하는 과정에서 $\frac{1}{4}$을 $2$의 거듭제곱으로 어떻게 표현해야 할지 헷갈려 막힐 수 있습니다. 지수부등식을 일차부등식으로 바꿀 때, 밑의 크기에 따라 부등호 방향이 어떻게 되는지 혼동하여 오답을 낼 수 있습니다.

🔑 돌파구

분수 형태의 밑은 음의 지수를 사용하여 $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 임을 떠올려 밑을 통일해 보세요. 밑을 통일한 후에는 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 확인하여 부등호 방향을 결정하세요. (밑 > 1 이면 그대로, 0 < 밑 < 1 이면 반대로!)

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