(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

19. 두 자연수 $a,b$에 대하여 함수 $f(x)=a\sin bx+8-a$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$의 값을 구하시오. [3점] (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이다. (나) $0\le x<2\pi$일 때, $x$에 대한 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 이용하여 미지수를 구하고, 주어진 구간에서 삼각방정식의 실근의 개수를 통해 주기를 결정할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a, b는 자연수
- $f(x)=a\sin bx+8-a$
- $(가)모든실수x에대하여f(x)\ge 0$
- $(나)0\le x<2\pi 일때,f(x)=0의서로다른실근의개수는4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 최솟값 조건으로 a를 찾고, 실근의 개수 조건으로 b를 찾는 방법으로 문제를 풀이합니다

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다

step1. 조건 (가)를 이용하여 함수 f(x)의 최솟값이 0 이상임을 식으로 세웁니다

step2. a가 자연수라는 조건을 이용하여 a의 값을 확정합니다

step3. 조건 (나)를 이용하여 주어진 구간에서 삼각방정식의 실근의 개수를 구하는 식을 세웁니다

step4. 실근의 개수가 4개임을 이용하여 자연수 b의 값을 확정하고, 최종적으로 a+b를 계산합니다

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 최대·최소: 함수 $y=A\sin (Bx)+C$ ($A>0$)의 최댓값은 $A+C$, 최솟값은 $-A+C$이다.

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=\sin (Bx)$ ($B>0$)의 주기는 $\frac{2\pi }{B}$이다.

5. 구체적 풀이

학생 여러분, 삼각함수 문제에서 미지수가 포함되어 있으면 당황하기 쉽죠? 하지만 조건들을 하나씩 차근차근 해석해보면 실마리를 찾을 수 있습니다.

[키포인트] 삼각함수의 최솟값과 주기의 성질을 이용하여 미지수 $a,b$의 범위를 좁혀나가는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$의 최솟값이 0 이상임을 식으로 세웁니다.

함수 $f(x)=a\sin bx+8-a$에서 $a$는 자연수이므로 $a>0$입니다.

$\sin bx$가 가질 수 있는 값의 범위는 $-1\le \sin bx\le 1$입니다.

따라서 $f(x)$의 최솟값은 $\sin bx=-1$일 때 발생하며, 그 값은 $a(-1)+8-a=8-2a$가 됩니다.

조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이라고 했으므로, 최솟값 또한 0 이상이어야 합니다.

즉, $8-2a\ge 0$입니다.

step2. $a$가 자연수라는 조건을 이용하여 $a$의 값을 확정합니다.

부등식 $8-2a\ge 0$을 풀면 $2a\le 8$, 즉 $a\le 4$가 됩니다.

$a$는 자연수이므로 가능한 $a$의 값은 $1,2,3,4$입니다.

이제 방정식 $f(x)=0$을 살펴보면, $a\sin bx+8-a=0$에서 $\sin bx=\frac{a-8}{a}$가 됩니다.

$\sin bx$의 최솟값은 $-1$이므로, $\frac{a-8}{a}\ge -1$이어야 실근을 가질 수 있습니다.

$a=1$일 때: $\frac{1-8}{1}=-7$ (불가능)

$a=2$일 때: $\frac{2-8}{2}=-3$ (불가능)

$a=3$일 때: $\frac{3-8}{3}=-\frac{5}{3}$ (불가능)

$a=4$일 때: $\frac{4-8}{4}=-1$ (가능)

따라서 조건을 만족하는 자연수 $a$는 $4$뿐입니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 주어진 구간에서 삼각방정식의 실근의 개수를 구하는 식을 세웁니다.

$a=4$를 대입하면 방정식은 $\sin bx=-1$이 됩니다.

우리가 찾는 것은 $0\le x<2\pi$ 구간에서 이 방정식의 실근의 개수입니다.

$b$가 자연수이므로, $x$의 범위 $0\le x<2\pi$의 각 변에 $b$를 곱하면 $0\le bx<2b\pi$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 $x$의 범위만 생각하고 주기를 고려하지 않으면 실근의 개수를 잘못 셀 수 있습니다. 치환된 각도 $bx$의 범위를 정확히 파악해야 합니다.

step4. 실근의 개수가 4개임을 이용하여 자연수 $b$의 값을 확정하고, 최종적으로 $a+b$를 계산합니다.

사인 함수에서 값이 $-1$이 되는 지점은 한 주기($2\pi$)마다 정확히 1번씩 나타납니다. (예: $\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\dots$)

$bx$의 범위가 $0\le bx<2b\pi$이므로, 이 구간 안에는 길이가 $2\pi$인 주기가 정확히 $b$번 들어갑니다.

따라서 $\sin bx=-1$을 만족하는 실근의 개수는 $b$개가 됩니다.

조건 (나)에서 실근의 개수가 4라고 했으므로, $b=4$입니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은 $a+b=4+4=8$입니다.

[정답] 8

⚡ 실전용 풀이

step1. 최솟값 조건

$f(x)$의 최솟값 $=-a+8-a=8-2a$

$8-2a\ge 0⟹a\le 4$   --- (조건 (가) 이용)

step2. a 확정

$a\in \{1,2,3,4\}$

$f(x)=0⟹\sin bx=\frac{a-8}{a}$

$\sin bx\ge -1$이므로 $\frac{a-8}{a}\ge -1$

이를 만족하는 자연수 $a$는 $4$뿐임.   --- $\frac{4-8}{4}=-1$

step3. 실근 개수 조건

$a=4$ 대입하면 $\sin bx=-1$

$0\le x<2\pi ⟹0\le bx<2b\pi$

step4. b 확정 및 정답

한 주기($2\pi$)당 $\sin bx=-1$인 근은 1개.

구간 $[0,2b\pi )$에 주기가 $b$번 반복되므로 근의 개수는 $b$개.

$b=4$   --- (조건 (나) 이용)

∴ $a+b=4+4=8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (가)에서 $f(x)\ge 0$을 보고 최솟값을 구해야 한다는 생각을 떠올리지 못해 $a$의 범위를 찾지 못했을 수 있습니다. 조건 (나)에서 $\sin bx=-1$의 실근 개수를 구할 때, 주기 $\frac{2\pi }{b}$와 주어진 구간 $0\le x<2\pi$의 관계를 파악하지 못해 $b$를 결정하는 데 어려움을 겪었을 수 있습니다.

🔑 돌파구

'모든 실수에 대해 부등식이 성립한다'는 조건은 함수의 '최솟값'이 그 부등식을 만족한다는 의미로 해석하여 접근해 보세요. 삼각방정식의 실근 개수를 구할 때는 각도 부분을 하나의 문자(예: $t=bx$)로 치환한 뒤, $t$의 전체 범위를 구하고 그 안에 기본 주기가 몇 번 들어가는지 세어보는 것이 확실합니다. 팁: $\sin \theta =\pm 1$의 해는 한 주기당 1개, 그 외의 값은 한 주기당 2개 존재함을 기억하세요.

© 수학여정 - 문제 분석 리포트

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기