(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 다항함수의 적분)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$의 값을 구하시오. 조건: $x\ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x)\ge g(4)$이고 $|g(x)|\ge |g(3)|$ 이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 성질과 절댓값 함수의 최솟값 조건을 논리적으로 해석하여 피적분함수를 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수
- $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$
- x \ge 1인 모든 실수 x에 대하여 g(x) \ge g(4)
- x \ge 1인 모든 실수 x에 대하여 |g(x)| \ge |g(3)|

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값의 성질을 이용하여 함수식을 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 조건을 해석하여 $x=4$가 $g(x)$의 극소점임을 파악하고 $f(4)=0$을 도출합니다.

step2. 두 번째 조건을 해석하여 $|g(x)|$의 최솟값이 0이 되어야 함을 논리적으로 증명하고 $g(3)=0$을 도출합니다.

step3. $g(3)=0$을 정적분 식으로 계산하여 $f(x)$의 식을 완성하고 정답을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분으로 정의된 함수: $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g^{\prime }(x)=f(x)$가 성립합니다.

- 극대·극소의 판정: 미분가능한 함수가 열린 구간에서 최솟값을 가지면 그 점에서 미분계수는 0이 되어야 합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 첫 번째 조건을 해석하여 $f(4)=0$ 도출

$g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g^{\prime }(x)=f(x)$입니다.

조건에서 $x\ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x)\ge g(4)$라고 했습니다.

이는 $x\ge 1$ 구간에서 $g(x)$의 최솟값이 $x=4$에서 발생한다는 뜻입니다.

$x=4$는 구간 $x\ge 1$의 내부에 있으므로, $g(x)$는 $x=4$에서 극솟값을 가져야 합니다.

따라서 $g^{\prime }(4)=f(4)=0$입니다.

$f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로 $f(x)=(x-4)(x-\alpha )$로 둘 수 있습니다.

[키포인트] 제한된 구간에서 최솟값이 구간의 경계가 아닌 내부에서 발생한다면, 그 점은 반드시 극소점입니다.

step2. 두 번째 조건을 해석하여 $g(3)=0$ 도출

조건에서 $x\ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $|g(x)|\ge |g(3)|$이라고 했습니다.

이는 $x\ge 1$ 구간에서 $|g(x)|$의 최솟값이 $|g(3)|$이라는 뜻입니다.

만약 $g(3)\ne 0$이라면, $x\ge 1$에서 $g(x)$는 0이 될 수 없습니다.

$g(x)$는 최고차항 계수가 양수인 삼차함수이므로 $x\to \infty$일 때 $\infty$로 발산합니다. 따라서 $x\ge 1$에서 항상 $g(x)>0$이어야 합니다.

이 경우 $|g(x)|=g(x)$가 되고, 조건은 $x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(3)$이 됩니다.

step1. 에서 $x\ge 1$의 최솟값은 $g(4)$라고 했으므로 $g(3)=g(4)$가 되어야 합니다.

$g(3)=g(4)$이려면 ${\int }_3^{4}f(x)dx={\int }_3^4(x-4)(x-\alpha )dx=0$이어야 합니다.

이를 계산하면 $\alpha =\frac{10}{3}$이 나옵니다.

하지만 $\alpha =\frac{10}{3}$일 때 $g(1)=10$이고 $g(4)=16$이 되어 $g(1)<g(4)$가 됩니다.

이는 $x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(4)$라는 첫 번째 조건에 모순됩니다.

따라서 $g(3)=0$이어야만 합니다.

[함정경고] 절댓값 기호가 있다고 해서 무작정 식을 나누기보다, 절댓값 함수의 최솟값이 0이 될 수 있는지 먼저 의심해보는 것이 중요합니다. 여기서 $g(3)=0$임을 바로 유추하지 못하면 풀이가 매우 복잡해집니다.

step3. $f(x)$ 식 완성 및 정답 도출

$g(3)={\int }_0^3(x-4)(x-\alpha )dx=0$을 계산합니다.

${\int }_0^3(x^2-(4+\alpha )x+4\alpha )dx={[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{4+\alpha }{2}{x}^2+4\alpha x]}_0^3=0$

$9-\frac{9(4+\alpha )}{2}+12\alpha =0$

$9-18-\frac{9}{2}\alpha +12\alpha =0$

$-9+\frac{15}{2}\alpha =0⟹\alpha =\frac{6}{5}$

따라서 $f(x)=(x-4)(x-\frac{6}{5})$입니다.

우리가 구하고자 하는 값은 $f(9)$이므로 대입하여 계산합니다.

$f(9)=(9-4)(9-\frac{6}{5})=5\times \frac{39}{5}=39$

[정답] 39

⚡ 실전용 풀이

step1. $f(4)=0$ 도출

$g^{\prime }(x)=f(x)$

$x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(4)$이므로 $x=4$에서 극소

$\therefore f(4)=0$

$f(x)=(x-4)(x-\alpha )$

step2. $g(3)=0$ 도출

$x\ge 1$에서 $|g(x)|\ge |g(3)|$

만약 $g(3)\ne 0$이면 $x\ge 1$에서 $g(x)>0$이므로 $g(3)=g(4)$

${\int }_3^4(x-4)(x-\alpha )dx=0⟹\alpha =\frac{10}{3}$

이때 $g(1)=10<g(4)=16$이 되어 $g(x)\ge g(4)$ 모순

$\therefore g(3)=0$

step3. $\alpha$ 계산 및 정답 도출

$g(3)={\int }_0^3(x^2-(4+\alpha )x+4\alpha )dx=0$

$9-\frac{9}{2}(4+\alpha )+12\alpha =0$

$-9+\frac{15}{2}\alpha =0⟹\alpha =\frac{6}{5}$

$f(x)=(x-4)(x-\frac{6}{5})$

$\therefore f(9)=5\times \frac{39}{5}=39$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생들은 $x\ge 1$에서 $g(x)\ge g(4)$라는 조건을 보고 $x=4$가 극소점임을 파악하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다. 또한 $|g(x)|\ge |g(3)|$ 조건을 보고 절댓값 때문에 케이스 분류를 하다가 $g(3)=0$이라는 핵심 결론을 내리지 못하고 헤맬 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

제한된 구간에서 최솟값이 구간의 경계가 아닌 내부에서 발생한다면, 그 점은 반드시 극소점임을 기억해야 합니다. 또한 절댓값 함수의 최솟값 조건이 주어지면, 최솟값이 0이 될 수 있는지 먼저 확인하는 것이 좋습니다. $g(3)=0$이면 최솟값이 0이 되어 조건이 자연스럽게 성립함을 파악할 수 있습니다.

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