(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=t-{\log }_{2}x$와 $y=2^{x-t}$이 만나는 점의 $x$좌표를 $f(t)$라 하자. <보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 $A$, $B$, $C$의 값을 정할 때, $A+B+C$의 값을 구하시오. (단, $A+B+C\ne 0$) • 명제 ㄱ이 참이면 $A=100$, 거짓이면 $A=0$이다. • 명제 ㄴ이 참이면 $B=10$, 거짓이면 $B=0$이다. • 명제 ㄷ이 참이면 $C=1$, 거짓이면 $C=0$이다. -<보기>- ㄱ. $f(1)=1$이고 $f(2)=2$이다. ㄴ. 실수 $t$의 값이 증가하면 $f(t)$의 값도 증가한다. ㄷ. 모든 양의 실수 $t$에 대하여 $f(t)\ge t$이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수와 로그함수의 교점을 나타내는 방정식의 해를 새로운 함수로 정의하고, 함수의 단조증가성과 그래프의 개형을 이용하여 해의 대소 관계를 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 곡선 $y=t-{\log }_{2}x$와 $y=2^{x-t}$이 만나는 점의 $x$좌표가 $f(t)$
- 명제 ㄱ 참이면 $A=100$, 거짓이면 $A=0$
- 명제 ㄴ 참이면 $B=10$, 거짓이면 $B=0$
- 명제 ㄷ 참이면 $C=1$, 거짓이면 $C=0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 방정식의 해를 새로운 함수로 정의하고, 단조증가성을 이용하여 해의 대소 관계를 파악하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 교점의 $x$좌표를 나타내는 방정식을 세우고, 이를 새로운 함수 $F(x)$로 정의하여 단조증가성을 파악합니다.

step2. $t=1,2$를 대입하여 명제 ㄱ의 참/거짓을 판별합니다.

step3. $t$의 변화에 따른 $F(x)$의 증감을 분석하여 명제 ㄴ의 참/거짓을 판별합니다.

step4. $x=t$일 때의 함숫값 부호를 통해 명제 ㄷ의 참/거짓을 판별합니다.

step5. 각 명제의 참/거짓에 따라 $A,B,C$의 값을 구하고 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 방정식의 실근과 함수의 그래프: 방정식 $f(x)=g(x)$의 실근은 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 $x$좌표와 같습니다.

- 함수의 단조성: 함수가 단조증가(또는 단조감소)할 때, 함숫값의 대소 관계를 통해 정의역의 원소의 대소 관계를 파악할 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 함수의 교점의 $x$좌표 $f(t)$를 직접 구하기 어려우므로, $F(x)=2^{x-t}+{\log }_{2}x-t$ 라는 새로운 함수를 정의하고 이 함수의 단조증가성을 이용하여 $f(t)$의 대소 관계를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 방정식 설정 및 단조성 파악

두 곡선 $y=t-{\log }_{2}x$와 $y=2^{x-t}$이 만나는 점의 $x$좌표가 $f(t)$이므로, 다음 방정식이 성립합니다.

$t-{\log }_{2}f(t)=2^{f(t)-t}$

이를 이항하여 정리하면,

$2^{f(t)-t}+{\log }_{2}f(t)-t=0$ 입니다.

여기서 함수 $F(x)=2^{x-t}+{\log }_{2}x-t$ 를 정의해 봅시다.

$x>0$ 인 범위에서 밑이 2인 지수함수와 로그함수는 모두 증가함수이므로, $F(x)$는 $x$에 대하여 단조증가하는 함수입니다.

따라서 $F(x)=0$ 을 만족하는 $x$의 값은 유일하게 존재하며, 그 값이 바로 $f(t)$입니다.

step2. 명제 ㄱ의 참/거짓 판별

$t=1$일 때, $F(x)=2^{x-1}+{\log }_{2}x-1$ 입니다.

$x=1$을 대입하면 $F(1)=2^0+{\log }_{2}1-1=1+0-1=0$ 이므로 $f(1)=1$ 입니다.

$t=2$일 때, $F(x)=2^{x-2}+{\log }_{2}x-2$ 입니다.

$x=2$를 대입하면 $F(2)=2^0+{\log }_{2}2-2=1+1-2=0$ 이므로 $f(2)=2$ 입니다.

따라서 명제 ㄱ은 참이며, $A=100$ 입니다.

step3. 명제 ㄴ의 참/거짓 판별

$t_1<t_2$ 인 두 실수 $t_1,t_2$에 대하여 생각해 봅시다.

$F(x,t)=2^{x-t}+{\log }_{2}x-t$ 라고 할 때, $x$가 고정된 상태에서 $t$가 증가하면 $2^{x-t}$와 $-t$가 모두 감소하므로 $F(x,t)$의 값은 감소합니다.

$F(f(t_1),t_1)=0$ 이 성립하는데, $t$가 $t_2$로 증가하면 $F(f(t_1),t_2)<0$ 이 됩니다.

$F(x,t_2)$는 $x$에 대해 증가함수이므로, $F(x,t_2)=0$ 이 되기 위해서는 $x$의 값이 $f(t_1)$보다 커야 합니다.

즉, $f(t_1)<f(t_2)$ 가 성립하므로 $t$가 증가하면 $f(t)$도 증가합니다.

따라서 명제 ㄴ은 참이며, $B=10$ 입니다.

step4. 명제 ㄷ의 참/거짓 판별

모든 양의 실수 $t$에 대하여 $f(t)\ge t$ 가 성립하는지 확인해 봅시다.

$F(x)$가 증가함수이므로, $f(t)\ge t$ 가 성립하려면 $F(t)\le F(f(t))=0$ 이어야 합니다.

$x=t$일 때의 함숫값을 구해보면,

$F(t)=2^{t-t}+{\log }_{2}t-t=1+{\log }_{2}t-t$ 입니다.

즉, $1+{\log }_{2}t-t\le 0⟺{\log }_{2}t\le t-1$ 이 성립해야 합니다.

[함정경고] ㄷ 명제에서 $t=1,2$일 때 $f(t)=t$가 성립하는 것을 보고, 모든 양수 $t$에 대해서도 성립할 것이라고 섣불리 추측하기 쉽습니다. $1<t<2$ 구간에서 반례가 존재함을 반드시 확인해야 합니다.

$y={\log }_{2}t$ 와 $y=t-1$ 의 그래프를 비교해 보면, $t=1$과 $t=2$에서 두 그래프가 만납니다.

하지만 $1<t<2$ 구간에서는 위로 볼록한 로그함수 $y={\log }_{2}t$ 의 그래프가 직선 $y=t-1$ 보다 위쪽에 위치합니다.

(예를 들어 $t=1.5$일 때, ${\log }_{2}1.5>{\log }_2\sqrt{2}=0.5=1.5-1$ 입니다.)

따라서 $1<t<2$ 인 범위에서는 ${\log }_{2}t>t-1$ 이 되어 $F(t)>0$ 이 됩니다.

$F(t)>0=F(f(t))$ 이고 $F(x)$가 증가함수이므로, 이 구간에서는 $f(t)<t$ 가 됩니다.

따라서 명제 ㄷ은 거짓이며, $C=0$ 입니다.

step5. 정답 도출

$A=100,B=10,C=0$ 이므로,

$A+B+C=100+10+0=110$ 입니다.

[정답] 110

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 설정 및 단조성 파악

$t-{\log }_{2}x=2^{x-t}$

$⟹2^{x-t}+{\log }_{2}x-t=0$

$F(x)=2^{x-t}+{\log }_{2}x-t$ 라 하면, $x>0$에서 $F(x)$는 증가함수.

$F(f(t))=0$

step2. ㄱ 참/거짓 판별

$t=1$일 때, $F(1)=2^0+{\log }_{2}1-1=0⟹f(1)=1$

$t=2$일 때, $F(2)=2^0+{\log }_{2}2-2=0⟹f(2)=2$

$\therefore ㄱ은참$   --- $A=100$

step3. ㄴ 참/거짓 판별

$t_1<t_2$ 일 때, $F(x)$ 식에서 $t$가 커지면 $2^{x-t}$와 $-t$가 모두 감소하므로 $F(x)$ 값은 감소.

$F(f(t_1),t_1)=0$ 이고 $t$가 $t_2$로 증가하면 $F(f(t_1),t_2)<0$.

$F(x,t_2)$는 $x$에 대해 증가함수이므로, $F(x,t_2)=0$이 되려면 $x$는 $f(t_1)$보다 커야 함.

$⟹f(t_1)<f(t_2)$

$\therefore ㄴ은참$   --- $B=10$

step4. ㄷ 참/거짓 판별

$f(t)\ge t$ 이려면 $F(t)\le F(f(t))=0$ 이어야 함.

$F(t)=2^0+{\log }_{2}t-t=1+{\log }_{2}t-t\le 0$

$⟹{\log }_{2}t\le t-1$

하지만 $1<t<2$ 에서 곡선 $y={\log }_{2}t$ 가 직선 $y=t-1$ 보다 위쪽에 있으므로 ${\log }_{2}t>t-1$.

따라서 $1<t<2$ 에서 $F(t)>0⟹f(t)<t$.

$\therefore ㄷ은거짓$   --- $C=0$

step5. 정답 도출

∴ $A+B+C=100+10+0=110$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

방정식 $t-{\log }_{2}x=2^{x-t}$ 의 해를 직접 구하려고 시도하다가 막힐 수 있습니다. 또한 ㄷ 명제에서 $t=1,2$일 때 등호가 성립하는 것을 보고, 모든 양수 $t$에 대해서도 성립할 것이라고 직관적으로 착각하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

해를 직접 구하는 대신, 함수 $F(x)=2^{x-t}+{\log }_{2}x-t$ 를 정의하고 단조증가성을 이용하여 교점의 위치를 파악해야 합니다. ㄷ 명제는 $x=t$일 때의 함숫값 $F(t)$의 부호를 확인하여, $y={\log }_{2}t$ 와 $y=t-1$ 의 그래프의 상하 관계를 통해 반례($1<t<2$)를 찾아야 합니다.

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