(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수열의 귀납적 정의)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

15. 자연수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $a_n$이 있다. $a_1=k$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}{a}_n+2n-k\hfill & (a_n\le 0)\hfill \\ a_n-2n-k\hfill & (a_n>0)\hfill \end{array}$ 이다. $a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$이 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합은? [4점] ① 10 ② 14 ③ 18 ④ 22 ⑤ 26

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의에 따라 항의 부호를 판별하고, 조건을 만족하는 미지수 $k$의 값을 추론하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 자연수 $k$
- $a_1=k$
- $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}{a}_n+2n-k\hfill & (a_n\le 0)\hfill \\ a_n-2n-k\hfill & (a_n>0)\hfill \end{array}$
- $a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 따라가며 $k$의 값에 따른 각 항의 부호를 나누어 추적하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a_1$부터 시작하여 $a_2,a_3$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. $a_3$의 부호에 따라 $k$의 범위를 나누고, $a_4$를 구합니다.

step3. 같은 방식으로 $a_4,a_5,a_6$의 부호를 판별하며 $a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$을 만족하는 $k$를 찾습니다.

step4. 조건을 만족하는 모든 $k$의 값을 더하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값(부호)에 따라 다음 항이 결정되는 규칙을 이용하여 수열의 각 항을 구합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 수열의 귀납적 정의가 주어졌을 때, $a_1$부터 차례대로 대입하여 각 항을 $k$에 대한 식으로 나타내고, 조건에 따라 부호가 바뀌는 경계값을 기준으로 경우를 나누는 것이 핵심입니다.

step1. $a_1$부터 시작하여 $a_2,a_3$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

$a_1=k$ 이고, $k$는 자연수이므로 $a_1>0$ 입니다.

$n=1$일 때, $a_1>0$ 이므로 $a_2=a_1-2(1)-k=k-2-k=-2$ 입니다.

$a_2=-2\le 0$ 이므로,

$n=2$일 때, $a_3=a_2+2(2)-k=-2+4-k=2-k$ 입니다.

step2. $a_3$의 부호에 따라 $k$의 범위를 나누고, $a_4$를 구합니다.

$a_3=2-k$ 이므로 $k$의 값에 따라 부호가 달라집니다.

(1) $k=1$인 경우:

$a_3=1>0$

$a_4=a_3-2(3)-1=1-6-1=-6\le 0$

$a_5=a_4+2(4)-1=-6+8-1=1>0$

$a_6=a_5-2(5)-1=1-10-1=-10$

$a_3\times a_4\times a_5\times a_6=1\times (-6)\times 1\times (-10)=60>0$ 이므로 조건을 만족하지 않습니다.

(2) $k=2$인 경우:

$a_3=0$ 이므로 $a_3\times a_4\times a_5\times a_6=0$ 이 되어 조건을 만족하지 않습니다.

step3. $k\ge 3$인 경우에 대해 $a_4,a_5,a_6$의 부호를 판별합니다.

$k\ge 3$이면 $a_3=2-k<0$ 입니다.

$n=3$일 때, $a_3\le 0$ 이므로 $a_4=a_3+2(3)-k=(2-k)+6-k=8-2k$ 입니다.

(3) $k=3$인 경우:

$a_3=-1<0$

$a_4=8-6=2>0$

$a_5=a_4-2(4)-3=2-8-3=-9\le 0$

$a_6=a_5+2(5)-3=-9+10-3=-2$

$a_3\times a_4\times a_5\times a_6=(-1)\times 2\times (-9)\times (-2)=-36<0$ 이므로 조건을 만족합니다.

(4) $k=4$인 경우:

$a_4=0$ 이므로 곱이 0이 되어 조건을 만족하지 않습니다.

(5) $k\ge 5$인 경우:

$a_4=8-2k<0$ 입니다.

$n=4$일 때, $a_4\le 0$ 이므로 $a_5=a_4+2(4)-k=(8-2k)+8-k=16-3k$ 입니다.

$k=5$인 경우:

$a_3=-3<0$

$a_4=-2<0$

$a_5=16-15=1>0$

$a_6=a_5-2(5)-5=1-10-5=-14$

$a_3\times a_4\times a_5\times a_6=(-3)\times (-2)\times 1\times (-14)=-84<0$ 이므로 조건을 만족합니다.

$k\ge 6$인 경우:

$a_5=16-3k<0$ 입니다.

$n=5$일 때, $a_5\le 0$ 이므로 $a_6=a_5+2(5)-k=(16-3k)+10-k=26-4k$ 입니다.

$k=6$인 경우:

$a_3=-4<0$

$a_4=-4<0$

$a_5=-2<0$

$a_6=26-24=2>0$

$a_3\times a_4\times a_5\times a_6=(-4)\times (-4)\times (-2)\times 2=-64<0$ 이므로 조건을 만족합니다.

$k\ge 7$인 경우:

$a_6=26-4k<0$ 입니다.

이 경우 $a_3,a_4,a_5,a_6$가 모두 음수이므로 그 곱은 양수가 되어 조건을 만족하지 않습니다.

[함정경고] $a_n=0$인 경우를 놓치기 쉽습니다. $a_n=0$이면 네 항의 곱이 0이 되어 $a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$ 조건을 만족할 수 없으므로, $a_3=0$이 되는 $k=2$나 $a_4=0$이 되는 $k=4$ 등은 바로 제외해야 합니다.

step4. 조건을 만족하는 모든 $k$의 값을 더하여 정답을 도출합니다.

조건을 만족하는 $k$의 값은 $3,5,6$ 입니다.

따라서 모든 $k$의 값의 합은 $3+5+6=14$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. $a_1,a_2,a_3$ 계산

$a_1=k>0$

$a_2=k-2-k=-2\le 0$

$a_3=-2+4-k=2-k$

step2. $k$에 따른 경우 분류

$k=1$: $a_3=1>0,a_4=1-6-1=-6,a_5=-6+8-1=1,a_6=1-10-1=-10$

--- $a_3{a}_4{a}_5{a}_6=60>0$ (X)

$k=2$: $a_3=0$

--- 곱이 0 (X)

step3. $k\ge 3$일 때

$a_3=2-k<0$

$a_4=(2-k)+6-k=8-2k$

$k=3$: $a_4=2>0,a_5=2-8-3=-9,a_6=-9+10-3=-2$

--- $(-)(+)(-)(-)<0$ (O)

$k=4$: $a_4=0$

--- 곱이 0 (X)

$k\ge 5$일 때:

$a_4=8-2k<0$

$a_5=(8-2k)+8-k=16-3k$

$k=5$: $a_5=1>0,a_6=1-10-5=-14$

--- $(-)(-)(+)(-)<0$ (O)

$k\ge 6$일 때:

$a_5=16-3k<0$

$a_6=(16-3k)+10-k=26-4k$

$k=6$: $a_6=2>0$

--- $(-)(-)(-)(+)<0$ (O)

$k\ge 7$: $a_6<0$

--- $(-)(-)(-)(-)>0$ (X)

step4. 정답 도출

$\therefore k=3,5,6$

합 = $3+5+6=14$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

1. 수열의 귀납적 정의에서 $a_n$의 부호에 따라 다음 항의 계산식이 달라지는데, 미지수 $k$가 포함되어 있어 부호를 확정하지 못하고 당황할 수 있습니다. 2. $k$의 값에 따라 경우를 나누는 기준을 세우지 못해 모든 자연수 $k$를 무작정 대입하려다 시간이 부족해질 수 있습니다.

🔑 돌파구

1. $a_1=k$부터 시작하여 $a_2,a_3$를 직접 계산해 보면 $a_2=-2$로 상수가 나와 $a_3=2-k$로 간단해짐을 파악해야 합니다. 2. $a_3=2-k$의 부호가 바뀌는 $k=2$를 기준으로 경우를 나누고, 이후 $a_4,a_5,a_6$도 각각 부호가 바뀌는 경계값($k=4,k=5,k=6$)을 기준으로 순차적으로 범위를 좁혀가며 확인합니다. (팁: 부호 판단이 필요한 수열 문제는 항이 0이 되는 순간을 경계로 경우를 나누면 체계적으로 접근할 수 있습니다.)

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