(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 순열과 조합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

23. 5개의 문자 $a,a,b,c,d$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점] ① 50 ② 55 ③ 60 ④ 65 ⑤ 70

1. 문제의 요지

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 공식을 이용하여 경우의 수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 5개의 문자: $a,a,b,c,d$
- 모두 일렬로 나열

3. 풀이의 순서

이 문제는 같은 것이 있는 순열 공식을 이용하여 경우의 수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복된 문자의 개수를 파악합니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

step3. 팩토리얼을 계산하여 최종 경우의 수를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열: $n$개의 원소 중 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, ... , $r$개 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!\times q!\times \dots \times r!}$ 이다. (단, $p+q+\dots +r=n$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 중복된 문자가 포함된 경우, 전체를 다른 것으로 보고 나열한 뒤 중복된 문자들이 자리바꿈하는 경우의 수로 나누어 주어야 합니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복된 문자의 개수를 파악합니다.

주어진 문자는 $a,a,b,c,d$로 총 5개입니다.

이 중에서 문자 $a$가 2개 포함되어 있고, 나머지 $b,c,d$는 각각 1개씩 있습니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

5개의 문자를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 $5!$입니다.

[함정경고] 여기서 문자 $a$가 2개 있으므로, 이 두 $a$가 서로 자리를 바꾸는 경우는 같은 경우로 취급해야 합니다. 따라서 $5!$을 그대로 답으로 쓰면 안 되고, 반드시 $2!$로 나누어 주어야 합니다.

식으로 나타내면 $\frac{5!}{2!}$이 됩니다.

step3. 팩토리얼을 계산하여 최종 경우의 수를 도출합니다.

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

$2!=2\times 1=2$

따라서 구하는 경우의 수는 $\frac{120}{2}=60$입니다.

정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 문자 개수 파악

전체 문자 5개, $a$가 2개

step2. 같은 것이 있는 순열 공식 적용

$\frac{5!}{2!}$   --- (중복된 $a$ 2개의 자리바꿈 경우의 수로 나눔)

step3. 계산

$=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}$

$=60$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

중복된 문자 $a$가 2개 있다는 사실을 간과하고 단순히 서로 다른 5개의 문자를 나열하는 것으로 착각하여 $5!=120$으로 계산할 수 있습니다. 또는 같은 것이 있는 순열 공식을 잊어버려 어떻게 나누어야 할지 혼동할 수 있습니다.

🔑 돌파구

문자를 나열할 때 똑같이 생긴 문자가 여러 개 있다면, 그 문자들끼리 자리를 바꾸는 경우는 구분이 안 되므로 그 개수의 팩토리얼만큼 나누어 주어야 한다는 원리를 떠올려 보세요. '전체 개수 팩토리얼 $÷$ 중복된 개수 팩토리얼' 공식을 기억해 두면 유용합니다.

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