(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

 

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (경우의 수, 함수의 개수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

28. 집합 X={1,2,3,4,5} 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f:X→X 의 개수는? [4점] (가) f(1)×f(3)×f(5) 는 홀수이다. (나) f(2)<f(4) (다) 함수 f 의 치역의 원소의 개수는 3이다. ① 128 ② 132 ③ 136 ④ 140 ⑤ 144

1. 문제의 요지

이 문제는 조건을 만족하는 함수의 개수를 구할 때, 치역의 원소 개수 조건에 맞추어 정의역의 원소들이 매핑되는 경우를 체계적으로 분류할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합 X={1,2,3,4,5}
- 함수 f:X→X
- (가) f(1)×f(3)×f(5) 는 홀수이다.
- (나) f(2)<f(4)
- (다) 함수 f 의 치역의 원소의 개수는 3이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)를 통해 특정 함숫값들의 범위를 좁히고, 이들이 구성하는 값의 종류 개수에 따라 경우를 나누어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 분석하여 f(1),f(3),f(5)가 가질 수 있는 값을 파악합니다.

step2. f(1),f(3),f(5)가 가지는 값의 종류(치역의 부분집합)의 개수가 1개인 경우를 계산합니다.

step3. f(1),f(3),f(5)가 가지는 값의 종류의 개수가 2개인 경우를 계산합니다.

step4. f(1),f(3),f(5)가 가지는 값의 종류의 개수가 3개인 경우를 계산합니다.

step5. 모든 경우의 수를 더하여 최종 답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 경우의 수 (nr)

- 중복순열: 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 r개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수 nr

5. 구체적 풀이

학생 여러분, 이 문제는 여러 조건이 얽혀 있어 복잡해 보이지만, 기준을 잘 세워 분류하면 차근차근 풀 수 있습니다. 함께 풀어볼까요?

 

[키포인트] 조건 (가)에 의해 f(1),f(3),f(5)는 모두 홀수여야 합니다. 이때 이 세 함숫값이 구성하는 '값의 종류(원소의 개수)'를 기준으로 경우를 나누어 접근하는 것이 핵심입니다!

 

step1. 조건 (가) 분석

조건 (가)에서 f(1)×f(3)×f(5)가 홀수라고 했습니다. 곱해서 홀수가 되려면 곱해지는 수들이 모두 홀수여야 합니다.

집합 X={1,2,3,4,5}에서 홀수는 1, 3, 5이므로, f(1),f(3),f(5)는 반드시 {1,3,5} 중에서 값을 가져야 합니다.

이제 f(1),f(3),f(5)가 가지는 값들의 집합을 A라고 하고, A의 원소의 개수에 따라 경우를 나누어 보겠습니다.

 

step2. A의 원소의 개수가 1개인 경우

f(1),f(3),f(5)가 모두 같은 홀수 값을 가지는 경우입니다.

- 어떤 홀수를 가질지 선택하는 방법: {1,3,5} 중 1개 선택 → 3가지

- 조건 (다)에서 치역의 원소가 총 3개여야 하므로, f(2)와 f(4)는 앞에서 선택한 홀수가 아닌 나머지 4개의 수 중에서 서로 다른 2개의 값을 가져야 합니다.

- 조건 (나)에서 f(2)<f(4)라고 했으므로, 4개의 수 중 2개를 뽑기만 하면 작은 수는 f(2)에, 큰 수는 f(4)에 자동으로 배정됩니다: (42)=6가지

- 따라서 이 경우의 수는 3×1×6=18가지입니다.

 

step3. A의 원소의 개수가 2개인 경우

f(1),f(3),f(5)가 2종류의 홀수 값을 가지는 경우입니다.

- 어떤 홀수 2개를 가질지 선택하는 방법: {1,3,5} 중 2개 선택 →(32)=3가지

- [함정경고] f(1),f(3),f(5)에 2개의 값을 배정할 때, 단순히 2×2×2=8가지라고 생각하기 쉽습니다. 하지만 이 중에는 1개의 값으로만 모두 몰리는 2가지 경우가 포함되어 있으므로 이를 반드시 빼주어야 합니다! →23−2=6가지

- 치역의 원소가 총 3개가 되려면, f(2)와 f(4)에 의해 정확히 1개의 새로운 원소가 추가되어야 합니다.

- 즉, f(2)와 f(4) 중 하나는 아직 선택되지 않은 3개의 수 중 하나를 가져야 하고(3가지), 나머지 하나는 이미 A에 있는 2개의 수 중 하나를 가져야 합니다(2가지).

- 선택된 2개의 수를 f(2)와 f(4)에 크기 순으로 배정하는 방법은 1가지입니다.

- 따라서 이 경우의 수는 3×6×(3×2)=108가지입니다.

 

step4. A의 원소의 개수가 3개인 경우

f(1),f(3),f(5)가 1, 3, 5를 모두 가지는 경우입니다.

- 1, 3, 5를 f(1),f(3),f(5)에 하나씩 배정하는 방법: 3!=6가지

- 이미 치역의 원소가 3개({1,3,5}) 확보되었으므로, f(2)와 f(4)는 반드시 {1,3,5} 안에서만 값을 가져야 합니다.

- f(2)<f(4)이므로 {1,3,5} 중 2개를 뽑기만 하면 됩니다: (32)=3가지

- 따라서 이 경우의 수는 6×3=18가지입니다.

 

step5. 총합 계산

모든 경우의 수를 더하면 18+108+18=144가지가 됩니다.

따라서 정답은 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 분석 및 분류

f(1),f(3),f(5)∈{1,3,5}

A={f(1),f(3),f(5)}라 할 때, n(A)에 따라 분류

 

step2. n(A)=1인 경우

A 결정: (31)=3

f(1),f(3),f(5) 배정: 1

f(2),f(4) 배정: A가 아닌 4개 중 2개 선택 (42)=6

∴3×1×6=18

 

step3. n(A)=2인 경우

A 결정: (32)=3

f(1),f(3),f(5) 배정: 23−2=6   --- (모두 같은 값으로 가는 경우 제외)

f(2),f(4) 배정: 새로운 원소 1개 선택 (31)=3, A의 원소 중 1개 선택 (21)=2

∴3×6×3×2=108

 

step4. n(A)=3인 경우

A={1,3,5}   --- 1가지

f(1),f(3),f(5) 배정: 3!=6

f(2),f(4) 배정: A의 원소 중 2개 선택 (32)=3

∴1×6×3=18

 

step5. 총합

18+108+18=144

 

∴144

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생이 막힐 가능성이 가장 높은 지점은 f(1),f(3),f(5)가 홀수라는 것은 파악했으나, 이들이 서로 같은 값을 가질 수 있다는 점을 간과하여 치역의 원소 개수를 맞추는 과정에서 경우를 체계적으로 나누지 못하는 것입니다. 또한 f(2)<f(4) 조건을 조합(선택)으로 해석하지 못하고 일일이 나열하려다 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

f(1),f(3),f(5)가 선택한 값의 '종류의 개수'를 기준으로 분류(1가지, 2가지, 3가지)하여 접근해 보세요. 그리고 f(2)<f(4)처럼 크기가 정해진 배정은 '뽑기만 하면 자동으로 자리가 정해진다'는 조합의 성질을 활용하면 계산이 훨씬 간결해집니다. 크기 순서가 정해진 배정은 항상 조합(C)을 떠올리세요!

© 수학여정 - 문제 분석 리포트

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기