(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

 

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

주머니에 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀 있는 흰 공 4개와 숫자 4, 5, 6, 7이 하나씩 적혀 있는 검은 공 4개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다. 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 12를 점수로 얻고, 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을 점수로 얻는다. 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 24 이하의 짝수일 확률이 qp 일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 경우의 수를 나누어 조건에 맞는 사건의 확률을 계산하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 흰 공: 1, 2, 3, 4 (총 4개)
- 검은 공: 4, 5, 6, 7 (총 4개)
- 시행: 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냄
- 점수 규칙 1: 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 12점
- 점수 규칙 2: 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 두 공에 적힌 수의 곱
- 목표: 얻은 점수가 24 이하의 짝수일 확률 qp를 구하여 p+q 계산

3. 풀이의 순서

이 문제는 경우의 수를 색깔이 같은 경우와 다른 경우로 나누어 확률을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 꺼낸 두 공이 서로 다른 색일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.

step3. 꺼낸 두 공이 모두 흰 공일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.

step4. 꺼낸 두 공이 모두 검은 공일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.

step5. 구한 경우의 수를 모두 더하여 확률을 계산하고, p+q의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 경우의 수 (nr)=n!r!(n−r)!

- 확률의 덧셈정리: 두 사건 A,B가 배반사건일 때, P(A∪B)=P(A)+P(B)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점수 규칙이 공의 색깔에 따라 다르므로, 두 공의 색이 같은 경우와 다른 경우로 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

 

step1. 전체 경우의 수

8개의 공 중에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 (82)=8×72×1=28입니다.

 

step2. 꺼낸 두 공이 서로 다른 색인 경우

흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내는 경우입니다.

이때 점수는 무조건 12점이며, 12는 24 이하의 짝수이므로 조건을 항상 만족합니다.

경우의 수는 (41)×(41)=4×4=16입니다.

 

step3. 꺼낸 두 공이 모두 흰 공인 경우

흰 공 4개 {1, 2, 3, 4} 중 2개를 꺼냅니다.

점수는 두 수의 곱이며, 이 값이 24 이하의 짝수여야 합니다.

[함정경고] 두 공이 같은 색일 때, 곱이 24 이하라는 조건만 신경 쓰고 '짝수'라는 조건을 빠뜨려 홀수끼리의 곱을 포함시키는 실수를 하기 쉽습니다.

전체 (42)=6가지 경우 중, 두 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 홀수 2개를 뽑는 경우인 (1, 3) 1가지뿐입니다.

나머지 5가지 경우는 모두 짝수가 하나 이상 포함되어 곱이 짝수이고, 가장 큰 곱이 3×4=12이므로 모두 24 이하입니다.

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 6−1=5입니다.

(구체적으로 확인하면 (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)의 5가지입니다.)

 

step4. 꺼낸 두 공이 모두 검은 공인 경우

검은 공 4개 {4, 5, 6, 7} 중 2개를 꺼냅니다.

점수는 두 수의 곱이며, 이 값이 24 이하의 짝수여야 합니다.

가능한 2개의 조합과 그 곱을 확인해 봅니다.

- (4, 5) →4×5=20 (24 이하 짝수, 만족)

- (4, 6) →4×6=24 (24 이하 짝수, 만족)

- (4, 7) →4×7=28 (24 초과, 불만족)

- (5, 6) →5×6=30 (24 초과, 불만족)

- (5, 7) →5×7=35 (홀수, 불만족)

- (6, 7) →6×7=42 (24 초과, 불만족)

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 2입니다.

 

step5. 확률 계산 및 정답 도출

step2. , step3, step4의 사건들은 서로 배반사건이므로, 조건을 만족하는 총 경우의 수는 16+5+2=23입니다.

구하는 확률은 2328입니다.

p=28,q=23이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.

따라서 p+q=28+23=51입니다.

[정답] 51

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

n(S)=(82)=28

 

step2. 다른 색인 경우

점수 = 12   --- 24 이하 짝수 만족

경우의 수 = (41)×(41)=16

 

step3. 모두 흰 공인 경우

{1, 2, 3, 4} 중 2개 선택

곱이 24 이하 짝수: (1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

경우의 수 = 5   --- (홀수×홀수인 (1,3) 제외)

 

step4. 모두 검은 공인 경우

{4, 5, 6, 7} 중 2개 선택

곱이 24 이하 짝수: (4,5), (4,6)

경우의 수 = 2   --- (나머지는 24 초과이거나 홀수)

 

step5. 확률 계산

P=16+5+228=2328

p=28,q=23

 

∴ p+q=51

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 공이 같은 색일 때, 곱이 24 이하라는 조건만 신경 쓰고 '짝수'라는 조건을 빠뜨려 홀수×홀수 경우를 포함시키는 실수를 할 수 있습니다. 또한, 검은 공의 경우 숫자가 커서 곱이 24를 넘는 경우가 많은데, 이를 일일이 확인하지 않고 대충 세다가 틀릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

문제의 조건 '24 이하의 짝수'를 두 부분으로 나누어, 곱을 구한 후 반드시 24 이하인지, 그리고 짝수인지 두 번 체크하는 습관을 들여야 합니다. 숫자가 몇 개 안 될 때는 머릿속으로만 계산하지 말고, 가능한 모든 순서쌍을 직접 나열해 보며 조건에 맞는지 O, X로 표시하는 것이 가장 확실합니다.

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