(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

흰색 손수건 4장, 검은색 손수건 5장이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 4장의 손수건을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 4장의 손수건 중에서 흰색 손수건이 2장 이상일 확률은? ① $\frac{1}{2}$ ② $\frac{4}{7}$ ③ $\frac{9}{14}$ ④ $\frac{5}{7}$ ⑤ $\frac{11}{14}$

1. 문제의 요지

이 문제는 조합을 이용하여 전체 경우의 수를 구하고, 여사건의 확률을 이용하여 확률을 효율적으로 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 흰색 손수건 4장
- 검은색 손수건 5장
- 총 9장의 손수건 중 임의로 4장을 동시에 꺼냄
- 구하는 것: 흰색 손수건이 2장 이상일 확률

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 계산량을 줄이는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 전체 손수건에서 4장을 꺼내는 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. '흰색 손수건이 2장 이상'의 여사건인 '흰색 손수건이 1장 이하'인 경우의 수를 구합니다.

step3. 여사건의 확률을 구한 뒤, 1에서 빼서 최종 확률을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수 ${}_n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A)$라 할 때, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률은 $1-P(A)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] '2장 이상'과 같이 여러 경우를 포함하는 조건이 주어지면, 반대되는 경우(여사건)를 구하는 것이 더 빠를 수 있습니다.

step1. 전체 경우의 수 구하기

상자 안에는 흰색 4장, 검은색 5장으로 총 9장의 손수건이 있습니다.

이 중 4장을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 조합을 이용하여 구합니다.

전체 경우의 수 = ${}_9{C}_4=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$

step2. 여사건의 경우의 수 구하기

'흰색 손수건이 2장 이상' 나오는 경우는 (흰색 2장), (흰색 3장), (흰색 4장)의 3가지입니다.

이것의 여사건은 '흰색 손수건이 1장 이하' 나오는 경우로, (흰색 0장), (흰색 1장)의 2가지입니다.

여사건의 경우의 수를 구하는 것이 계산이 더 간단하므로 여사건을 이용합니다.

① 흰색 0장, 검은색 4장을 꺼내는 경우:

${}_4{C}_0{\times }_5{C}_4=1\times 5=5$

② 흰색 1장, 검은색 3장을 꺼내는 경우:

${}_4{C}_1{\times }_5{C}_3=4\times 10=40$

따라서 여사건의 총 경우의 수는 $5+40=45$입니다.

[함정경고] 여사건의 확률을 구한 후, 마지막에 반드시 1에서 빼주어야 합니다. 이를 잊고 여사건의 확률을 그대로 답으로 적는 실수를 주의하세요.

step3. 최종 확률 구하기

여사건의 확률은 $\frac{45}{126}$이며, 이를 약분하면 $\frac{5}{14}$가 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 '흰색 손수건이 2장 이상일 확률'은 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 뺀 값입니다.

$1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$

정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

전체 9장 중 4장 선택: ${}_9{C}_4=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$

step2. 여사건의 경우의 수

--- '흰색 2장 이상'의 여사건은 '흰색 1장 이하'이므로

① 흰색 0장, 검은 4장: ${}_4{C}_0{\times }_5{C}_4=5$

② 흰색 1장, 검은 3장: ${}_4{C}_1{\times }_5{C}_3=4\times 10=40$

여사건의 경우의 수 = $5+40=45$

step3. 최종 확률

여사건의 확률 = $\frac{45}{126}=\frac{5}{14}$

∴ 구하는 확률 = $1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

'2장 이상'이라는 조건을 보고 흰색 2장, 3장, 4장인 경우를 각각 구하려다 계산이 많아져 실수할 수 있습니다. 또한 조합 기호(${}_n{C}_r$)를 사용하여 경우의 수를 계산하는 과정에서 연산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

구해야 하는 경우가 많을 때는 반대되는 경우인 '여사건'을 떠올려 보세요. '2장 이상'의 반대는 '1장 이하(0장 또는 1장)'이므로 계산을 줄일 수 있습니다. '적어도 ~일 확률'이나 '~이상일 확률'을 구할 때는 항상 여사건을 먼저 고려하는 습관을 들이면 좋습니다.

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