(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이항정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

26. 다항식

(x - 1)^{6} (2 x + 1)^{7}

의 전개식에서

x^{2}

의 계수는? [3점] ① 15 ② 20 ③ 25 ④ 30 ⑤ 35

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 두 다항식의 곱으로 이루어진 식에서 특정 차수의 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식

(x - 1)^{6} (2 x + 1)^{7}

3. 풀이의 순서

이 문제는 이항정리를 이용하여 두 다항식의 곱에서 특정 차수의 항이 나오는 경우를 나누어 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이항정리를 이용하여 $(x - 1)^{6}$ 과 $(2 x + 1)^{7}$ 의 일반항을 각각 구합니다.

step2. 두 일반항을 곱하여 $x^{2}$ 이 되는 차수의 조건( $r + s = 2$ )을 찾고, 가능한 경우를 나눕니다.

step3. 각 경우에 해당하는 계수를 계산하고 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}$ (단, $n$ 은 자연수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 다항식의 곱에서 특정 차수의 항을 찾을 때는, 각각의 다항식에서 나올 수 있는 항들의 차수 합이 원하는 차수가 되는 모든 경우를 빠짐없이 찾아야 합니다.

step1. 이항정리를 이용하여 각 다항식의 일반항을 구합니다.

$(x - 1)^{6}$ 의 전개식에서 일반항은 $(\binom{6}{r}) x^{r} (- 1)^{6 - r}$ 입니다. (단, $0 \leq r \leq 6$ )

$(2 x + 1)^{7}$ 의 전개식에서 일반항은 $(\binom{7}{s}) (2 x)^{s} (1)^{7 - s} = (\binom{7}{s}) 2^{s} x^{s}$ 입니다. (단, $0 \leq s \leq 7$ )

step2. 두 다항식을 곱했을 때 $x^{2}$ 항이 나오려면, 각 일반항의 차수인 $r$ 과 $s$ 의 합이 2가 되어야 합니다.

즉, $r + s = 2$ 를 만족해야 합니다.

$r$ 과 $s$ 는 0 이상의 정수이므로, 가능한 $(r, s)$ 의 순서쌍은 $(0, 2), (1, 1), (2, 0)$ 세 가지입니다.

step3. 각 경우에 대하여 계수를 계산합니다.

[함정경고] $(x - 1)^{6}$ 의 일반항에서 $(- 1)^{6 - r}$ 부호를 빠뜨리거나, $(2 x + 1)^{7}$ 의 일반항에서 $2^{s}$ 를 빠뜨리기 쉬우므로 주의해야 합니다.

1) $r = 0, s = 2$ 인 경우:

$(x - 1)^{6}$ 에서 상수항( $x^{0}$ )의 계수: $(\binom{6}{0}) (- 1)^{6} = 1$

$(2 x + 1)^{7}$ 에서 $x^{2}$ 항의 계수: $(\binom{7}{2}) 2^{2} = 21 \times 4 = 84$

두 계수의 곱: $1 \times 84 = 84$

2) $r = 1, s = 1$ 인 경우:

$(x - 1)^{6}$ 에서 $x^{1}$ 항의 계수: $(\binom{6}{1}) (- 1)^{5} = - 6$

$(2 x + 1)^{7}$ 에서 $x^{1}$ 항의 계수: $(\binom{7}{1}) 2^{1} = 7 \times 2 = 14$

두 계수의 곱: $(- 6) \times 14 = - 84$

3) $r = 2, s = 0$ 인 경우:

$(x - 1)^{6}$ 에서 $x^{2}$ 항의 계수: $(\binom{6}{2}) (- 1)^{4} = 15$

$(2 x + 1)^{7}$ 에서 상수항( $x^{0}$ )의 계수: $(\binom{7}{0}) 2^{0} = 1$

두 계수의 곱: $15 \times 1 = 15$

따라서 $x^{2}$ 의 계수는 위 세 경우의 계수를 모두 더한 값입니다.

$84 + (- 84) + 15 = 15$

정답은 15이므로 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 구하기

$(x - 1)^{6}$ 의 일반항: $(\binom{6}{r}) x^{r} (- 1)^{6 - r}$

$(2 x + 1)^{7}$ 의 일반항: $(\binom{7}{s}) (2 x)^{s} = (\binom{7}{s}) 2^{s} x^{s}$

step2. $x^{2}$ 항의 조건

$r + s = 2$

가능한 $(r, s)$ 쌍: $(0, 2), (1, 1), (2, 0)$

step3. 각 경우의 계수 계산

$r = 0, s = 2$ : $(\binom{6}{0}) (- 1)^{6} \times (\binom{7}{2}) 2^{2} = 1 \times 21 \times 4 = 84$

$r = 1, s = 1$ : $(\binom{6}{1}) (- 1)^{5} \times (\binom{7}{1}) 2^{1} = - 6 \times 7 \times 2 = - 84$

$r = 2, s = 0$ : $(\binom{6}{2}) (- 1)^{4} \times (\binom{7}{0}) 2^{0} = 15 \times 1 \times 1 = 15$

∴ $x^{2}$ 의 계수 = $84 - 84 + 15 = 15$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 다항식의 곱에서 특정 항의 계수를 구할 때, 한쪽 다항식에서만 항을 찾으려 하거나 가능한 모든 차수의 조합을 빠뜨릴 수 있습니다. 이항정리의 일반항을 세울 때, $(x - 1)$ 의 $- 1$ 부호나 $(2 x + 1)$ 의 $2$ 와 같은 상수를 거듭제곱하는 것을 잊어버려 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

두 다항식의 일반항을 각각 $r$ 과 $s$ 를 사용하여 나타낸 후, 지수의 합이 원하는 차수가 되는 $(r, s)$ 순서쌍을 모두 나열하세요. 일반항을 작성할 때 문자뿐만 아니라 계수와 부호까지 괄호로 묶어 거듭제곱을 정확히 표현하는 습관을 들이세요. (예: $(2 x)^{s} = 2^{s} x^{s}$ )

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