(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 사건 $A,B$에 대하여 $P(A\cap B^C)=\frac{1}{9},P(B^C)=\frac{7}{18}$ 일 때, $P(A\cup B)$의 값은? (단, $B^C$은 $B$의 여사건이다.) ① $\frac{5}{9}$ ② $\frac{11}{18}$ ③ $\frac{2}{3}$ ④ $\frac{13}{18}$ ⑤ $\frac{7}{9}$

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건의 확률과 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $P(A\cap B^C)=\frac{1}{9}$
- $P(B^C)=\frac{7}{18}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률과 배반사건의 성질을 이용하여 합사건의 확률을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 여사건의 확률 성질을 이용하여 $P(B)$를 구합니다.

step2. 합사건 $A\cup B$를 두 배반사건 $B$와 $A\cap B^C$의 합집합으로 나타내어 $P(A\cup B)$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 사건 $B$에 대하여 $P(B)=1-P(B^C)$ 이다.

- 확률의 덧셈정리 (배반사건): 두 사건 $X,Y$가 서로 배반사건(교집합이 공집합)일 때, $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)$ 이다.

- 집합의 분할: $A\cup B=B\cup (A\cap B^C)$ 이고, $B$와 $A\cap B^C$는 서로 배반사건이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 합사건 $A\cup B$를 서로 겹치지 않는 두 사건 $B$와 $A\cap B^C$로 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 먼저 주어진 조건 $P(B^C)=\frac{7}{18}$을 이용하여 $P(B)$를 구합니다.

여사건의 확률 성질에 의해 $P(B)=1-P(B^C)$ 이므로,

$P(B)=1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18}$ 입니다.

step2. 이제 $P(A\cup B)$를 구합니다.

집합의 연산에서 $A\cup B=B\cup (A-B)=B\cup (A\cap B^C)$ 로 나타낼 수 있습니다.

이때 사건 $B$와 사건 $A\cap B^C$는 서로 배반사건(교집합이 공집합)이므로, 확률의 덧셈정리에 의해 다음이 성립합니다.

$P(A\cup B)=P(B)+P(A\cap B^C)$

[함정경고] 여기서 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 공식만 떠올리다가 $P(A)$와 $P(A\cap B)$를 각각 구하려고 하면 조건이 부족하여 막히기 쉽습니다. 벤 다이어그램을 그려서 영역을 분할해 보는 것이 좋습니다.

주어진 조건 $P(A\cap B^C)=\frac{1}{9}$과 앞서 구한 $P(B)=\frac{11}{18}$을 대입하면,

$P(A\cup B)=\frac{11}{18}+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}+\frac{2}{18}=\frac{13}{18}$ 입니다.

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. P(B) 계산

$P(B)=1-P(B^C)=1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18}$

$(step2.P(A\cup B)계산)$

$P(A\cup B)=P(B)+P(A\cap B^C)$   --- (벤 다이어그램 영역 분할 이용)

$=\frac{11}{18}+\frac{1}{9}$

$=\frac{11}{18}+\frac{2}{18}=\frac{13}{18}$

$\therefore 정답④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 공식에만 얽매여 $P(A)$와 $P(A\cap B)$를 각각 구하려고 시도하다가 조건 부족으로 막힐 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

벤 다이어그램을 그려 $A\cup B$ 영역이 $B$ 영역과 $A\cap B^C$ (즉, $A-B$) 영역의 합으로 이루어져 있음을 시각적으로 확인하세요. 복잡한 확률 계산은 벤 다이어그램을 통한 영역 분할이 가장 직관적인 해결책입니다.

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