2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 같은 것이 있는 순열)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

23. 네 개의 숫자 1, 1, 2, 3을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점] ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

1. 문제의 요지

이 문제는 같은 것이 포함된 원소들을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 나열할 숫자: 1, 1, 2, 3
- 총 숫자의 개수: 4개
- 같은 숫자의 개수: '1'이 2개

3. 풀이의 순서

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 공식을 이용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 나열할 전체 숫자의 개수와 중복된 숫자의 개수를 파악합니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

step3. 팩토리얼을 계산하여 최종 경우의 수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열: n개의 원소 중에서 같은 것이 각각 p개, q개, ..., r개 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!\cdots r!}$ 이다. (단, $p+q+\cdots +r=n$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 서로 같은 원소가 포함된 집합을 일렬로 나열할 때는 전체를 다른 것으로 보고 나열한 뒤, 같은 것들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수로 나누어 주어야 합니다.

step1. 나열할 전체 숫자의 개수와 중복된 숫자의 개수를 파악합니다.

주어진 숫자는 1, 1, 2, 3으로 총 4개입니다.

이 중에서 숫자 '1'이 2개 포함되어 있습니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

전체 4개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!$ 입니다.

그런데 숫자 '1'이 2개 있으므로, 이 두 '1'이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수인 $2!$ 로 나누어 주어야 중복을 피할 수 있습니다.

따라서 구하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2!}$ 입니다.

[함정경고] 숫자 1이 2개 있다는 사실을 놓치고 단순히 서로 다른 4개의 숫자를 나열하는 것으로 착각하여 $4!=24$ 로 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 팩토리얼을 계산하여 최종 경우의 수를 구합니다.

$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

$2!=2\times 1=2$

따라서 $\frac{24}{2}=12$ 입니다.

결과적으로 네 개의 숫자 1, 1, 2, 3을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 12입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 파악

전체 숫자 4개   --- 1, 1, 2, 3

같은 숫자 '1'이 2개

step2. 식 세우기

$\frac{4!}{2!}$   --- (같은 것이 있는 순열 이용)

step3. 계산

$=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}$

$=12$

$\therefore 정답③$

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