2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번
문제의 분류	고등학교 (이항정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $(x^2-2{)}^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? ① -50 ② -20 ③ 10 ④ 40 ⑤ 70

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 전개식에서 특정 차수의 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: $(x^2-2{)}^5$
- 구해야 할 것: $x^6$의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이항정리의 일반항 공식을 이용하여 특정 차수의 항을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이항정리를 이용하여 다항식의 일반항을 작성합니다.

step2. $x^6$항이 나오기 위한 $r$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $r$의 값을 일반항에 대입하여 계수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ (단, $r=0,1,\dots ,n$)이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 거듭제곱 전개식에서 특정 항의 계수를 구할 때는 이항정리의 일반항 공식을 활용하는 것이 가장 빠르고 정확합니다.

step1. 이항정리를 이용하여 다항식의 일반항을 작성합니다.

다항식 $(x^2-2{)}^5$의 전개식에서 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)(x^2{)}^{5-r}(-2{)}^r$ (단, $r=0,1,2,3,4,5$)

이를 $x$에 대해 정리하면,

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)x^{2(5-r)}(-2{)}^r=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r})x^{10-2r}(-2{)}^r$ 이 됩니다.

step2. $x^6$항이 나오기 위한 $r$의 값을 구합니다.

우리가 구하고자 하는 것은 $x^6$의 계수이므로, $x$의 지수가 6이 되어야 합니다.

즉, $10-2r=6$ 입니다.

이 방정식을 풀면,

$2r=4$

$r=2$ 가 됩니다.

step3. 구한 $r$의 값을 일반항에 대입하여 계수를 계산합니다.

$r=2$를 일반항의 계수 부분에 대입합니다.

계수 = $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times (-2{)}^2$

여기서 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 이고,

$(-2{)}^2=4$ 입니다.

[함정경고] $(-2{)}^2$를 계산할 때 부호를 빠뜨려 $-4$로 잘못 계산하지 않도록 주의해야 합니다. 짝수 제곱이므로 양수가 됩니다.

따라서 계수는 $10\times 4=40$ 입니다.

보기에서 40은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 작성

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)(x^2{)}^{5-r}(-2{)}^r$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)x^{10-2r}(-2{)}^r$

step2. r 구하기

$10-2r=6$

$2r=4⟹r=2$

step3. 계수 계산

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(-2{)}^2$

$=10\times 4$

$=40$

$\therefore 정답④$

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