2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 조건부확률)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

28. 탁자 위에 놓인 4개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다. 4개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다. 처음에 3개의 동전은 앞면이 보이도록, 1개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 5번 반복한 후 4개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점] ① $\frac{17}{32}$ ② $\frac{35}{64}$ ③ $\frac{9}{16}$ ④ $\frac{37}{64}$ ⑤ $\frac{19}{32}$

1. 문제의 요지

이 문제는 상태 전이 확률을 이용하여 5번의 시행 후 특정 상태에 도달할 확률을 구하고, 이를 바탕으로 조건부확률을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 동전 4개 중 임의로 1개를 택하여 뒤집는 시행을 한다.
- 초기 상태: 앞면 3개, 뒷면 1개
- 시행 횟수: 5번
- 조건: 5번 시행 후 4개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있다.
- 구하는 것: 위 조건 하에서 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률

3. 풀이의 순서

이 문제는 동전의 앞면 개수를 상태로 정의하고, 각 시행마다 상태가 어떻게 변하는지 확률을 계산하여 조건부확률을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 동전의 앞면 개수를 상태로 정의하고, 각 상태에서 다음 상태로 넘어갈 확률(전이 확률)을 구합니다.

step2. 초기 상태(앞면 3개)에서 시작하여 1번부터 5번까지 시행을 반복했을 때, 각 상태에 있을 확률을 차례대로 계산합니다.

step3. 5번 시행 후 4개의 동전이 모두 같은 면이 보일 확률(앞면 0개 또는 앞면 4개)을 구합니다.

step4. 조건부확률의 정의를 이용하여 최종 확률을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 조건부확률: 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 확률은 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 동전의 앞면 개수를 기준으로 상태를 나누고, 각 시행마다 앞면의 개수가 어떻게 변하는지 추적하는 것이 핵심입니다.

step1. 상태 정의 및 전이 확률 계산

동전의 앞면 개수를 상태로 정의합시다. 앞면의 개수는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나입니다.

각 상태에서 동전 1개를 임의로 선택하여 뒤집을 때, 다음 상태로 넘어갈 확률을 구해봅시다.

- 앞면이 0개일 때: 무조건 뒷면을 뒤집게 되므로 앞면이 1개가 됩니다. (확률 1)

- 앞면이 1개일 때: 앞면을 뒤집으면 앞면 0개 (확률 $\frac{1}{4}$), 뒷면을 뒤집으면 앞면 2개 (확률 $\frac{3}{4}$)

- 앞면이 2개일 때: 앞면을 뒤집으면 앞면 1개 (확률 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$), 뒷면을 뒤집으면 앞면 3개 (확률 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$)

- 앞면이 3개일 때: 앞면을 뒤집으면 앞면 2개 (확률 $\frac{3}{4}$), 뒷면을 뒤집으면 앞면 4개 (확률 $\frac{1}{4}$)

- 앞면이 4개일 때: 무조건 앞면을 뒤집게 되므로 앞면이 3개가 됩니다. (확률 1)

step2. 각 시행 후 상태 확률 계산

처음 상태는 앞면이 3개입니다.

- 1번 시행 후:

- 앞면 2개: $\frac{3}{4}$

- 앞면 4개: $\frac{1}{4}$

- 2번 시행 후:

- 앞면 1개: (앞면 2개 $\to$ 앞면 1개) = $\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$

- 앞면 3개: (앞면 2개 $\to$ 앞면 3개) + (앞면 4개 $\to$ 앞면 3개) = $\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times 1=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$

- 3번 시행 후:

- 앞면 0개: (앞면 1개 $\to$ 앞면 0개) = $\frac{3}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{32}$

- 앞면 2개: (앞면 1개 $\to$ 앞면 2개) + (앞면 3개 $\to$ 앞면 2개) = $\frac{3}{8}\times \frac{3}{4}+\frac{5}{8}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{32}+\frac{15}{32}=\frac{24}{32}$

- 앞면 4개: (앞면 3개 $\to$ 앞면 4개) = $\frac{5}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{5}{32}$

- 4번 시행 후:

- 앞면 1개: (앞면 0개 $\to$ 앞면 1개) + (앞면 2개 $\to$ 앞면 1개) = $\frac{3}{32}\times 1+\frac{24}{32}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{32}+\frac{12}{32}=\frac{15}{32}$

- 앞면 3개: (앞면 2개 $\to$ 앞면 3개) + (앞면 4개 $\to$ 앞면 3개) = $\frac{24}{32}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{32}\times 1=\frac{12}{32}+\frac{5}{32}=\frac{17}{32}$

- 5번 시행 후:

- 앞면 0개: (앞면 1개 $\to$ 앞면 0개) = $\frac{15}{32}\times \frac{1}{4}=\frac{15}{128}$

- 앞면 2개: (앞면 1개 $\to$ 앞면 2개) + (앞면 3개 $\to$ 앞면 2개) = $\frac{15}{32}\times \frac{3}{4}+\frac{17}{32}\times \frac{3}{4}=\frac{45}{128}+\frac{51}{128}=\frac{96}{128}$

- 앞면 4개: (앞면 3개 $\to$ 앞면 4개) = $\frac{17}{32}\times \frac{1}{4}=\frac{17}{128}$

step3. 조건부확률 계산

5번 시행 후 4개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 사건을 $A$, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 사건을 $B$라고 합시다.

사건 $A$는 앞면이 0개이거나 4개인 경우이므로,

$P(A)=P(\text{앞면 0개})+P(\text{앞면 4개})=\frac{15}{128}+\frac{17}{128}=\frac{32}{128}$

사건 $A\cap B$는 모두 앞면이 보이는 경우이므로,

$P(A\cap B)=P(\text{앞면 4개})=\frac{17}{128}$

[함정경고] 조건부확률을 구할 때 분모에 들어갈 확률을 정확히 계산해야 합니다. 모두 뒷면인 경우도 '모두 같은 면'에 포함됨을 잊지 마세요.

step4. 최종 정답 도출

구하는 확률은 $P(B|A)$ 이므로,

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{17}{128}}{\frac{32}{128}}=\frac{17}{32}$

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 상태 정의 및 전이 확률

앞면 개수를 상태로 정의.

$0\to 1$   --- 확률 1

$1\to 0$ ($\frac{1}{4}$), $1\to 2$   --- $\frac{3}{4}$

$2\to 1$ ($\frac{1}{2}$), $2\to 3$   --- $\frac{1}{2}$

$3\to 2$ ($\frac{3}{4}$), $3\to 4$   --- $\frac{1}{4}$

$4\to 3$   --- 확률 1

step2. 각 시행 후 상태 확률

초기: 앞면 3개

1회: 앞면 2 ($\frac{3}{4}$), 앞면 4   --- $\frac{1}{4}$

2회: 앞면 1 ($\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$), 앞면 3   --- $\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times 1=\frac{5}{8}$

3회: 앞면 0 ($\frac{3}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{32}$), 앞면 2 ($\frac{3}{8}\times \frac{3}{4}+\frac{5}{8}\times \frac{3}{4}=\frac{24}{32}$), 앞면 4   --- $\frac{5}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{5}{32}$

4회: 앞면 1 ($\frac{3}{32}\times 1+\frac{24}{32}\times \frac{1}{2}=\frac{15}{32}$), 앞면 3   --- $\frac{24}{32}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{32}\times 1=\frac{17}{32}$

5회: 앞면 0 ($\frac{15}{32}\times \frac{1}{4}=\frac{15}{128}$), 앞면 4   --- $\frac{17}{32}\times \frac{1}{4}=\frac{17}{128}$

step3. , 4. 조건부확률

$P(\text{모두 같은 면})=P(\text{앞면 0})+P(\text{앞면 4})=\frac{15}{128}+\frac{17}{128}=\frac{32}{128}$

$P(\text{모두 앞면})=\frac{17}{128}$

$\therefore \frac{\frac{17}{128}}{\frac{32}{128}}=\frac{17}{32}$

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