2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류	고등학교 (경우의 수/함수의 개수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

집합 $X=\{-2,-1,0,1,2\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$의 개수를 구하시오. (가) $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x+f(x)\in X$이다. (나) $x=-2,-1,0,1$일 때 $f(x)\ge f(x+1)$이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 정의역과 공역의 조건, 그리고 함숫값들의 대소 관계 조건을 동시에 만족하는 함수의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합 X = {-2, -1, 0, 1, 2}
- 함수 f: X -> X
- $(가)모든x\in X에대하여x+f(x)\in X$
- $(나)x=-2,-1,0,1일때f(x)\ge f(x+1)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)를 통해 각 원소의 함숫값이 가질 수 있는 범위를 구하고, 조건 (나)의 대소 관계를 만족하는 경우의 수를 기준을 나누어 세는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 $f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2)$가 가질 수 있는 값의 범위를 각각 구합니다.

step2. 조건 (나)를 통해 함숫값들 사이의 대소 관계를 파악합니다.

step3. $f(0)$의 값을 기준으로 경우를 나누어, 각 경우마다 가능한 $(f(-2),f(-1))$의 순서쌍 개수와 $(f(1),f(2))$의 순서쌍 개수를 구합니다.

step4. 각 경우의 수를 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 경우의 수의 합의 법칙과 곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 각 사건의 경우의 수를 더하고, 두 사건이 연달아 일어날 때 각 사건의 경우의 수를 곱합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (가)를 통해 각 $x$에 대한 $f(x)$의 범위를 먼저 좁히고, 조건 (나)의 대소 관계를 만족하도록 $f(0)$을 기준으로 경우를 나누는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 각 함숫값의 범위 구하기

조건 (가)에서 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x+f(x)\in X$입니다. $X=\{-2,-1,0,1,2\}$이므로 각 $x$에 대해 $f(x)$의 범위를 구해보겠습니다.

- $x=-2$일 때: $-2+f(-2)\in \{-2,-1,0,1,2\}$ $\Rightarrow$ $f(-2)\in \{0,1,2,3,4\}$

그런데 $f(-2)\in X$이어야 하므로 $f(-2)\in \{0,1,2\}$입니다.

- $x=-1$일 때: $-1+f(-1)\in \{-2,-1,0,1,2\}$ $\Rightarrow$ $f(-1)\in \{-1,0,1,2,3\}$

$f(-1)\in X$이므로 $f(-1)\in \{-1,0,1,2\}$입니다.

- $x=0$일 때: $0+f(0)\in \{-2,-1,0,1,2\}$ $\Rightarrow$ $f(0)\in \{-2,-1,0,1,2\}$입니다.

- $x=1$일 때: $1+f(1)\in \{-2,-1,0,1,2\}$ $\Rightarrow$ $f(1)\in \{-3,-2,-1,0,1\}$

$f(1)\in X$이므로 $f(1)\in \{-2,-1,0,1\}$입니다.

- $x=2$일 때: $2+f(2)\in \{-2,-1,0,1,2\}$ $\Rightarrow$ $f(2)\in \{-4,-3,-2,-1,0\}$

$f(2)\in X$이므로 $f(2)\in \{-2,-1,0\}$입니다.

step2. 조건 (나)를 통한 대소 관계 파악

조건 (나)에서 $x=-2,-1,0,1$일 때 $f(x)\ge f(x+1)$이므로,

$f(-2)\ge f(-1)\ge f(0)\ge f(1)\ge f(2)$가 성립해야 합니다.

step3. $f(0)$의 값을 기준으로 경우 나누기

$f(0)$을 기준으로 앞부분 $(f(-2),f(-1))$과 뒷부분 $(f(1),f(2))$의 경우의 수를 각각 구하여 곱합니다.

Case 1: $f(0)=2$일 때

- 앞부분: $f(-2)\ge f(-1)\ge 2$를 만족해야 합니다.

$f(-2)\in \{0,1,2\}$, $f(-1)\in \{-1,0,1,2\}$이므로 가능한 순서쌍은 $(2,2)$로 1가지입니다.

- 뒷부분: $2\ge f(1)\ge f(2)$를 만족해야 합니다.

$f(1)\in \{-2,-1,0,1\}$, $f(2)\in \{-2,-1,0\}$입니다.

$f(1)=1$일 때 $f(2)\in \{0,-1,-2\}$ (3가지)

$f(1)=0$일 때 $f(2)\in \{0,-1,-2\}$ (3가지)

$f(1)=-1$일 때 $f(2)\in \{-1,-2\}$ (2가지)

$f(1)=-2$일 때 $f(2)\in \{-2\}$ (1가지)

총 $3+3+2+1=9$가지입니다.

- 따라서 Case 1의 경우의 수는 $1\times 9=9$가지입니다.

Case 2: $f(0)=1$일 때

- 앞부분: $f(-2)\ge f(-1)\ge 1$을 만족해야 합니다.

$f(-2)=2$일 때 $f(-1)\in \{2,1\}$ (2가지)

$f(-2)=1$일 때 $f(-1)\in \{1\}$ (1가지)

총 3가지입니다.

- 뒷부분: $1\ge f(1)\ge f(2)$를 만족해야 합니다.

이는 Case 1의 뒷부분 조건과 동일하므로 9가지입니다.

- 따라서 Case 2의 경우의 수는 $3\times 9=27$가지입니다.

Case 3: $f(0)=0$일 때

- 앞부분: $f(-2)\ge f(-1)\ge 0$을 만족해야 합니다.

$f(-2)=2$일 때 $f(-1)\in \{2,1,0\}$ (3가지)

$f(-2)=1$일 때 $f(-1)\in \{1,0\}$ (2가지)

$f(-2)=0$일 때 $f(-1)\in \{0\}$ (1가지)

총 6가지입니다.

- 뒷부분: $0\ge f(1)\ge f(2)$를 만족해야 합니다.

$f(1)=0$일 때 $f(2)\in \{0,-1,-2\}$ (3가지)

$f(1)=-1$일 때 $f(2)\in \{-1,-2\}$ (2가지)

$f(1)=-2$일 때 $f(2)\in \{-2\}$ (1가지)

총 6가지입니다.

- 따라서 Case 3의 경우의 수는 $6\times 6=36$가지입니다.

Case 4: $f(0)=-1$일 때

- 앞부분: $f(-2)\ge f(-1)\ge -1$을 만족해야 합니다.

$f(-2)=2$일 때 $f(-1)\in \{2,1,0,-1\}$ (4가지)

$f(-2)=1$일 때 $f(-1)\in \{1,0,-1\}$ (3가지)

$f(-2)=0$일 때 $f(-1)\in \{0,-1\}$ (2가지)

총 9가지입니다.

[함정경고] $f(-2)$가 가질 수 있는 값은 $0,1,2$뿐이므로 $f(-2)=-1$인 경우는 불가능함에 주의해야 합니다.

- 뒷부분: $-1\ge f(1)\ge f(2)$를 만족해야 합니다.

$f(1)=-1$일 때 $f(2)\in \{-1,-2\}$ (2가지)

$f(1)=-2$일 때 $f(2)\in \{-2\}$ (1가지)

총 3가지입니다.

- 따라서 Case 4의 경우의 수는 $9\times 3=27$가지입니다.

Case 5: $f(0)=-2$일 때

- 앞부분: $f(-2)\ge f(-1)\ge -2$를 만족해야 합니다.

이는 Case 4의 앞부분 조건과 동일하게 $f(-1)$이 가질 수 있는 최솟값이 $-1$이므로 9가지입니다.

- 뒷부분: $-2\ge f(1)\ge f(2)$를 만족해야 합니다.

$f(1)=-2$일 때 $f(2)\in \{-2\}$ (1가지)

총 1가지입니다.

- 따라서 Case 5의 경우의 수는 $9\times 1=9$가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

모든 경우의 수를 더하면 $9+27+36+27+9=108$가지입니다.

[정답] 108

⚡ 실전용 풀이

step1. f(x)의 범위 구하기

$-2+f(-2)\in X\Rightarrow f(-2)\in 0,1,2$

$-1+f(-1)\in X\Rightarrow f(-1)\in -1,0,1,2$

$0+f(0)\in X\Rightarrow f(0)\in -2,-1,0,1,2$

$1+f(1)\in X\Rightarrow f(1)\in -2,-1,0,1$

$2+f(2)\in X\Rightarrow f(2)\in -2,-1,0$

step2. 대소 관계

$f(-2)\ge f(-1)\ge f(0)\ge f(1)\ge f(2)$

step3. f(0) 기준 분류

① f(0)=2: (f(-2),f(-1)) 1가지, (f(1),f(2)) 9가지 ⇒ 9

② f(0)=1: (f(-2),f(-1)) 3가지, (f(1),f(2)) 9가지 ⇒ 27

③ f(0)=0: (f(-2),f(-1)) 6가지, (f(1),f(2)) 6가지 ⇒ 36

④ f(0)=-1: (f(-2),f(-1)) 9가지, (f(1),f(2)) 3가지 ⇒ 27

⑤ f(0)=-2: (f(-2),f(-1)) 9가지, (f(1),f(2)) 1가지 ⇒ 9

step4. 총합

9 + 27 + 36 + 27 + 9 = 108

$\therefore 108$

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