2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 원순열)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 6개의 의자가 있다. 이 6개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 2개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 11이 되지 않도록 배열하는 경우의 수는? [3점] (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① 72 ② 78 ③ 84 ④ 90 ⑤ 96

1. 문제의 요지

이 문제는 원순열의 기본 개념과 여사건을 이용하여 특정 조건을 만족하지 않는 경우의 수를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 1부터 6까지의 자연수가 적힌 6개의 의자
- 원형으로 배열 (회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 봄)
- 서로 이웃한 2개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 11이 되지 않아야 함

3. 풀이의 순서

이 문제는 전체 경우의 수에서 조건에 위배되는 경우의 수를 빼는 여사건의 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 6개의 의자를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 이웃한 두 의자의 수의 합이 11이 되는 두 수를 찾습니다.

step3. 찾은 두 수가 이웃하게 배열되는 경우의 수를 구합니다.

step4. 전체 경우의 수에서 step3에서 구한 경우의 수를 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 원순열: 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$입니다.

- 여사건의 경우의 수: (어떤 사건이 일어나지 않을 경우의 수) = (전체 경우의 수) - (그 사건이 일어날 경우의 수) 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] '합이 11이 되지 않도록'이라는 조건은 직접 구하기보다 '합이 11이 되는 경우'를 전체에서 빼는 여사건을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step1. 먼저 6개의 의자를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수를 구합니다.

서로 다른 6개를 원형으로 배열하는 원순열이므로, 전체 경우의 수는 $(6-1)!=5!=120$입니다.

step2. 이웃한 두 의자의 수의 합이 11이 되는 경우를 찾습니다.

1부터 6까지의 자연수 중 두 수의 합이 11이 되는 경우는 오직 5와 6을 더할 때뿐입니다. ($5+6=11$)

step3. 5와 6이 적힌 의자가 이웃하게 배열되는 경우의 수를 구합니다.

5와 6을 하나의 묶음으로 생각하면, 총 5개의 묶음(1, 2, 3, 4, (5, 6))을 원형으로 배열하는 것과 같습니다.

이 경우의 수는 $(5-1)!=4!=24$입니다.

[함정경고] 여기서 묶음 안의 5와 6이 서로 자리를 바꾸는 경우를 놓치기 쉽습니다. 반드시 이를 고려하여 곱해주어야 합니다.

묶음 안에서 5와 6이 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2!=2$입니다.

따라서 5와 6이 이웃하는 전체 경우의 수는 $24\times 2=48$입니다.

step4. 전체 경우의 수에서 5와 6이 이웃하는 경우의 수를 빼서 정답을 구합니다.

$120-48=72$

따라서 구하는 경우의 수는 72입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

$(6-1)!=5!=120$

step2. 합이 11이 되는 경우

$5+6=11$ 이므로 5와 6이 이웃하는 경우를 뺀다.

step3. 5와 6이 이웃하는 경우의 수

$(5-1)!\times 2!=4!\times 2=48$   --- (5와 6을 한 묶음으로 원순열, 묶음 내 자리바꿈)

step4. 정답 도출

$120-48=72$

$\therefore 72$

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