2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

40개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 각각의 공은 흰 공 또는 검은 공 중 하나이다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 2개를 꺼낼 확률을 $p$, 흰 공 1개와 검은 공 1개를 꺼낼 확률을 $q$, 검은 공 2개를 꺼낼 확률을 $r$이라 하자. $p=q$일 때, $60r$의 값을 구하시오. (단, $p>0$)

1. 문제의 요지

이 문제는 조합을 이용한 확률 계산과 이차방정식을 통해 조건을 만족하는 공의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 전체 공의 개수 = 40
- 공의 종류 = 흰 공, 검은 공
- 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냄
- 흰 공 2개를 꺼낼 확률 = $p$
- 흰 공 1개와 검은 공 1개를 꺼낼 확률 = $q$
- 검은 공 2개를 꺼낼 확률 = $r$
- $p=q$
- $p>0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미지수를 설정하고 조합을 이용해 확률을 식으로 나타낸 후, 주어진 조건을 만족하는 미지수의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 흰 공과 검은 공의 개수를 미지수로 설정하고, 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. $p$와 $q$를 미지수를 사용한 식으로 나타내고, $p=q$ 조건을 이용하여 미지수 사이의 관계식을 세웁니다.

step3. 전체 공의 개수 조건과 연립하여 각 공의 개수를 구합니다.

step4. 구한 공의 개수를 바탕으로 $r$을 계산하고, 최종적으로 $60r$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$이다.

- 확률의 뜻: 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 $N$이고, 사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $a$일 때, 사건 $A$가 일어날 확률은 $P(A)=\frac{a}{N}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 확률 문제를 풀 때는 먼저 전체 경우의 수를 구하고, 각 사건의 경우의 수를 미지수를 사용하여 표현한 뒤 주어진 조건에 대입하여 방정식을 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 흰 공과 검은 공의 개수를 미지수로 설정하고, 전체 경우의 수를 구합니다.

주머니에 들어 있는 흰 공의 개수를 $w$, 검은 공의 개수를 $b$라고 합시다.

전체 공의 개수가 40개이므로 $w+b=40$입니다.

40개의 공 중에서 임의로 2개를 꺼내는 전체 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{2}\right)=\frac{40\times 39}{2}=780$입니다.

step2. $p$와 $q$를 미지수를 사용한 식으로 나타내고, $p=q$ 조건을 이용하여 미지수 사이의 관계식을 세웁니다.

흰 공 2개를 꺼낼 확률 $p$는 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{2}\right)}=\frac{\frac{w(w-1)}{2}}{780}=\frac{w(w-1)}{1560}$입니다.

흰 공 1개와 검은 공 1개를 꺼낼 확률 $q$는 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{2}\right)}=\frac{wb}{780}=\frac{2wb}{1560}$입니다.

문제에서 $p=q$라고 했으므로, $\frac{w(w-1)}{1560}=\frac{2wb}{1560}$이 성립합니다.

양변에 1560을 곱하면 $w(w-1)=2wb$가 됩니다.

step3. 전체 공의 개수 조건과 연립하여 각 공의 개수를 구합니다.

문제에서 $p>0$이라고 했으므로, 흰 공은 최소 2개 이상 있어야 합니다. 즉, $w\ge 2$입니다.

따라서 $w\ne 0$이므로 양변을 $w$로 나눌 수 있습니다.

$w-1=2b$

[함정경고] 여기서 $w=0$인 경우를 고려하지 않고 무작정 나누면 안 됩니다. 문제의 조건 $p>0$을 통해 $w\ne 0$임을 확인하는 과정이 반드시 필요합니다.

앞서 구한 $w+b=40$에서 $w=40-b$를 위 식에 대입합니다.

$(40-b)-1=2b$

$39-b=2b$

$3b=39$

$b=13$

따라서 검은 공의 개수는 13개이고, 흰 공의 개수는 $w=40-13=27$개입니다.

step4. 구한 공의 개수를 바탕으로 $r$을 계산하고, 최종적으로 $60r$의 값을 도출합니다.

검은 공 2개를 꺼낼 확률 $r$은 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{2}\right)}$입니다.

$b=13$이므로, $r=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)}{780}=\frac{\frac{13\times 12}{2}}{780}=\frac{78}{780}=\frac{1}{10}$입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $60r$의 값은 $60\times \frac{1}{10}=6$입니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. 미지수 설정 및 전체 경우의 수

$w+b=40$

전체 경우의 수 = $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{2}\right)=780$

step2. 확률 식 세우기

$p=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w}{2}\right)}{780}=\frac{w(w-1)}{1560}$

$q=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{1}\right)}{780}=\frac{2wb}{1560}$

$p=q$ 이므로 $w(w-1)=2wb$

step3. 공의 개수 구하기

$p>0$ 이므로 $w\ge 2$   --- 양변 $w$로 나눔

$w-1=2b$

$w=40-b$ 대입

$39-b=2b⟹3b=39⟹b=13$

step4. 정답 도출

$r=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)}{780}=\frac{78}{780}=\frac{1}{10}$

$\therefore 60r=60\times \frac{1}{10}=6$

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