2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 사건 $A,B$는 서로 배반사건이고 $P(A^C)=\frac{5}{6},P(A\cup B)=\frac{3}{4}$ 일 때, $P(B^C)$의 값은? [3점] ① $\frac{3}{8}$ ② $\frac{5}{12}$ ③ $\frac{11}{24}$ ④ $\frac{1}{2}$ ⑤ $\frac{13}{24}$

1. 문제의 요지

이 문제는 배반사건의 정의와 여사건의 확률, 확률의 덧셈정리를 이용하여 특정 사건의 여사건의 확률을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사건 A와 B는 서로 배반사건
- P(A^C) = 56
- $P(A\cup B)=3/4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률과 배반사건의 성질을 이용하여 확률을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 여사건의 확률 성질을 이용하여 사건 A의 확률을 구합니다.

step2. 배반사건의 성질과 확률의 덧셈정리를 이용하여 사건 B의 확률을 구합니다.

step3. 다시 여사건의 확률 성질을 이용하여 사건 B의 여사건의 확률을 구하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 어떤 사건 A가 일어나지 않을 사건을 A의 여사건이라 하고 A^C로 나타내며, P(A^C) = 1 - P(A) 이다.

- $*배반사건**:두사건A,B가동시에일어나지않을때,즉A\cap B=\varnothing 일때두사건을서로배반사건이라한다.이때P(A\cap B)=0이다.$

- $*확률의덧셈정리**:두사건A,B에대하여P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)이다.특히A,B가배반사건이면P(A\cup B)=P(A)+P(B)이다.$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 배반사건이라는 조건이 주어지면 교집합의 확률이 0이 되므로, 합집합의 확률은 각각의 확률을 더한 것과 같다는 점을 떠올려야 합니다.

step1. 여사건의 확률 성질을 이용하여 사건 A의 확률을 구합니다.

문제에서 $P(A^C)=\frac{5}{6}$ 이라고 주어졌습니다.

여사건의 확률 성질에 의해 $P(A)=1-P(A^C)$ 이므로,

$P(A)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ 입니다.

step2. 배반사건의 성질과 확률의 덧셈정리를 이용하여 사건 B의 확률을 구합니다.

두 사건 $A,B$가 서로 배반사건이므로 $P(A\cap B)=0$ 입니다.

따라서 확률의 덧셈정리에 의해 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ 가 성립합니다.

문제에서 $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$ 이고, step1에서 $P(A)=\frac{1}{6}$ 임을 구했으므로 이를 대입하면,

$\frac{3}{4}=\frac{1}{6}+P(B)$

$P(B)=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 구한 $P(B)$의 값을 최종 정답으로 착각하여 실수하기 쉽습니다. 문제에서 요구하는 것은 $P(B)$가 아니라 $P(B^C)$입니다.

step3. 다시 여사건의 확률 성질을 이용하여 사건 B의 여사건의 확률을 구하여 정답을 도출합니다.

여사건의 확률 성질에 의해 $P(B^C)=1-P(B)$ 이므로,

$P(B^C)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$ 입니다.

따라서 정답은 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. P(A) 계산

$P(A)=1-P(A^C)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

step2. P(B) 계산

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$   --- (A, B가 배반사건이므로)

$\frac{3}{4}=\frac{1}{6}+P(B)$

$P(B)=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$

step3. P(B^C) 계산

$P(B^C)=1-P(B)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$

$\therefore 정답②$

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