2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 1번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 1번
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

1. $(3^{1-\sqrt{2}}{)}^2\times 9^{\sqrt{2}}$의 값은? [2점] ① $\frac{1}{9}$ ② $\frac{1}{3}$ ③ $1$ ④ $3$ ⑤ $9$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수가 실수일 때의 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 식: $(3^{1-\sqrt{2}}{)}^2\times 9^{\sqrt{2}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙을 이용하여 밑을 통일하고 지수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수법칙을 이용하여 첫 번째 항의 지수를 전개합니다.

step2. 두 번째 항의 밑을 3으로 통일합니다.

step3. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱셈을 지수의 덧셈으로 계산하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙 (거듭제곱의 거듭제곱): $a>0$ 이고 $m,n$ 이 실수일 때, $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 이 성립합니다.

- 지수법칙 (밑이 같은 거듭제곱의 곱셈): $a>0$ 이고 $m,n$ 이 실수일 때, $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 하는 문제입니다.

[키포인트] 밑이 다를 때는 밑을 같게 만들어 주는 것이 지수 계산의 첫걸음입니다. 여기서는 밑을 3으로 통일하는 것이 핵심입니다.

step1. 지수법칙을 이용하여 첫 번째 항의 지수를 전개합니다.

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 을 이용합니다.

$(3^{1-\sqrt{2}}{)}^2=3^{(1-\sqrt{2})\times 2}=3^{2-2\sqrt{2}}$

step2. 두 번째 항의 밑을 3으로 통일합니다.

$9=3^2$ 이므로, 이를 대입하여 지수법칙을 적용합니다.

$9^{\sqrt{2}}=(3^2{)}^{\sqrt{2}}=3^{2\sqrt{2}}$

step3. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱셈을 지수의 덧셈으로 계산하여 최종 값을 구합니다.

이제 두 항을 곱합니다. 지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 을 이용합니다.

$(3^{1-\sqrt{2}}{)}^2\times 9^{\sqrt{2}}=3^{2-2\sqrt{2}}\times 3^{2\sqrt{2}}$

$=3^{(2-2\sqrt{2})+2\sqrt{2}}$

$=3^2$

$=9$

[함정경고] 지수를 분배하거나 더할 때 부호 실수를 하기 쉬우니 주의해야 합니다. 특히 $(1-\sqrt{2})\times 2$ 를 계산할 때 $2-2\sqrt{2}$ 가 됨을 놓치지 마세요.

따라서 구하는 값은 9이며, 정답은 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 항 정리

$(3^{1-\sqrt{2}}{)}^2=3^{2-2\sqrt{2}}$

step2. 두 번째 항 밑 통일

$9^{\sqrt{2}}=(3^2{)}^{\sqrt{2}}=3^{2\sqrt{2}}$

step3. 곱셈 계산

$3^{2-2\sqrt{2}}\times 3^{2\sqrt{2}}$

$=3^{(2-2\sqrt{2})+2\sqrt{2}}$   --- (지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 이용)

$=3^2$

$=9$

$\therefore ⑤$

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