2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

첫째항과 공비가 모두 양수 $k$인 등비수열 $a_n$이 $a_2(k^2+1)=3a_4$를 만족시킬 때, $a_3$의 값은? [3점] ① $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ② $\frac{\sqrt{3}}{9}$ ③ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ④ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ⑤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 $k$에 대한 방정식으로 나타내고, 이를 풀어 $k$의 값을 구한 뒤 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등비수열 $a_n$의 첫째항 $a=k$ ($k>0$)
- 등비수열 $a_n$의 공비 $r=k$ ($k>0$)
- $a_2(k^2+1)=3a_4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 관계식을 $k$에 대한 방정식으로 변환하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 $a_2$와 $a_4$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 주어진 조건식에 대입하여 $k$에 대한 방정식을 세우고, $k>0$ 조건을 이용하여 $k$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $k$의 값을 이용하여 $a_3$의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$n$항은 $a_n=a{r}^{n-1}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 등비수열의 첫째항과 공비가 주어졌으므로, 모든 항을 $k$에 대한 거듭제곱으로 표현할 수 있습니다. 이를 주어진 식에 대입하여 $k$의 값을 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 $a_2$와 $a_4$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

첫째항이 $k$이고 공비가 $k$이므로, 등비수열의 일반항은 $a_n=k·k^{n-1}=k^n$입니다.

따라서 $a_2=k^2$이고, $a_4=k^4$입니다.

step2. 주어진 조건식에 대입하여 $k$에 대한 방정식을 세우고, $k>0$ 조건을 이용하여 $k$의 값을 구합니다.

주어진 조건식 $a_2(k^2+1)=3a_4$에 위에서 구한 식을 대입하면,

$k^2(k^2+1)=3k^4$ 이 됩니다.

식을 전개하면 $k^4+k^2=3k^4$ 이고, 우변으로 이항하여 정리하면

$2k^4-k^2=0$ 입니다.

공통인수 $k^2$으로 묶으면 $k^2(2k^2-1)=0$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $k=0$을 해로 착각하기 쉽습니다. 문제에서 $k$는 양수라고 명시되어 있으므로 $k^2\ne 0$임을 반드시 확인해야 합니다.

$k>0$이므로 $k^2>0$입니다. 따라서 양변을 $k^2$으로 나누면

$2k^2-1=0$ 이 되고, $k^2=\frac{1}{2}$ 입니다.

$k>0$이므로 $k=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

step3. 구한 $k$의 값을 이용하여 $a_3$의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

구하고자 하는 값은 $a_3$입니다.

$a_3=k^3$ 이므로,

$a_3={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^3=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 표현

$a_n=k·k^{n-1}=k^n$

$a_2=k^2,a_4=k^4$

step2. 방정식 풀이

$k^2(k^2+1)=3k^4$   --- (주어진 식에 대입)

$k^4+k^2=3k^4$

$2k^4-k^2=0$

$k^2(2k^2-1)=0$

$k^2=\frac{1}{2}$   --- ($k>0$이므로)

$k=\frac{1}{\sqrt{2}}$

step3. 정답 도출

$a_3=k^3={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^3=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\therefore ③$

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