2023년 6월 학평 (고2) 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=3^{x-2}+a$의 역함수의 그래프가 점 $(a+5,a+2)$를 지날 때, $3^a$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9

1. 문제의 요지

이 문제는 역함수의 성질을 이용하여 원래 함수의 함숫값을 구하고, 지수방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=3^{x-2}+a$
- 함수 $f(x)$의 역함수의 그래프가 점 $(a+5,a+2)$를 지남

3. 풀이의 순서

이 문제는 역함수의 기본 성질을 이용하여 원래 함수의 관계로 변환한 후, 지수방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 역함수의 성질을 이용하여 $f(x)$가 지나는 점의 좌표를 구합니다.

step2. 구한 점의 좌표를 $f(x)$의 식에 대입하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.

step3. 방정식을 풀어 $3^a$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 역함수의 성질: 함수 $f$의 역함수가 $f^{-1}$일 때, $f^{-1}(b)=a$ 이면 $f(a)=b$ 가 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 역함수의 그래프가 지나는 점이 주어졌을 때, 역함수를 직접 구하지 않고 원래 함수가 지나는 점으로 바꾸어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 역함수의 성질을 이용하여 $f(x)$가 지나는 점의 좌표를 구합니다.

함수 $f(x)$의 역함수의 그래프가 점 $(a+5,a+2)$를 지나므로, $f^{-1}(a+5)=a+2$ 입니다.

역함수의 성질에 의해 $f(a+2)=a+5$ 가 성립합니다. 즉, 원래 함수 $f(x)$는 점 $(a+2,a+5)$를 지납니다.

step2. 구한 점의 좌표를 $f(x)$의 식에 대입하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.

$f(x)=3^{x-2}+a$ 에 $x=a+2$ 를 대입하면,

$f(a+2)=3^{(a+2)-2}+a=3^a+a$ 가 됩니다.

이 값이 $a+5$ 와 같아야 하므로,

$3^a+a=a+5$ 라는 방정식을 세울 수 있습니다.

step3. 방정식을 풀어 $3^a$의 값을 도출합니다.

$3^a+a=a+5$ 의 양변에서 $a$를 빼면,

$3^a=5$ 가 됩니다.

[함정경고] 역함수의 식을 직접 구하려고 $x$와 $y$를 바꾸어 로그함수로 표현한 뒤 대입하면 계산이 복잡해지고 실수하기 쉽습니다. 역함수의 성질을 이용하여 원래 함수의 식으로 바로 접근하는 것이 좋습니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 역함수의 성질 적용

$f^{-1}(a+5)=a+2$

$\Rightarrow f(a+2)=a+5$   --- (역함수의 성질 이용)

step2. 함수 식에 대입

$f(a+2)=3^{(a+2)-2}+a=3^a+a$

$\therefore 3^a+a=a+5$

step3. $3^a$ 값 계산

$3^a=5$

$\therefore 정답:①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

역함수의 식을 직접 구하려고 시도하다가 로그함수 변환 과정에서 계산이 복잡해져 막힐 수 있습니다. 또한, 점의 좌표 $(a+5,a+2)$를 원래 함수 $f(x)$에 그대로 대입하는 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

역함수가 점 $(p,q)$를 지나면 원래 함수는 점 $(q,p)$를 지난다는 역함수의 기본 성질을 떠올려야 합니다. $f^{-1}(a+5)=a+2$ 를 $f(a+2)=a+5$ 로 바꾸어 원래 함수 식에 대입하면 $a$가 자연스럽게 소거됩니다. 역함수 문제의 대부분은 역함수를 직접 구하지 않고 $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$ 성질을 이용해 풉니다.

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