2023년 6월 학평 (고2) 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

등식 ${\left(\frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}}\right)}^m\times n=100$을 만족시키는 두 자연수 $m,n$에 대하여 $m+n$의 값은? ① 40 ② 42 ③ 44 ④ 46 ⑤ 48

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙을 이용하여 식을 정리하고, 자연수 조건을 만족하는 미지수의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\left(\frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}}\right)}^m\times n=100$
- $m,n$은 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙을 이용하여 식을 정리하고 자연수 조건을 해석하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 좌변을 지수법칙을 이용하여 밑이 2와 5인 거듭제곱 형태로 정리합니다.

step2. $n$에 대하여 식을 정리하고, $n$이 자연수가 되기 위한 조건을 찾습니다.

step3. $m$이 만족해야 하는 배수 조건과 부등식 조건을 통해 $m$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $m$의 값을 대입하여 $n$을 구하고, 최종적으로 $m+n$을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $a>0,b>0$이고 $x,y$가 실수일 때, $(a^x{)}^y=a^{xy}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, $(ab{)}^x=a^x{b}^x$ 등이 성립합니다.

- 자연수의 소인수분해 성질: 어떤 수가 자연수이려면, 그 수를 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 0 이상의 정수여야 합니다.

5. 구체적 풀이

주어진 등식 ${\left(\frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}}\right)}^m\times n=100$을 지수법칙을 이용하여 정리해 봅시다.

[키포인트] 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸고, 소인수분해를 통해 식을 정리하는 것이 핵심입니다.

step1. 거듭제곱근을 분수 지수로 변환합니다.

$\sqrt[6]{5}=5^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}$이므로 주어진 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\left(\frac{5^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{4}}}\right)}^m\times n=100$

지수법칙을 적용하여 괄호를 풀어줍니다.

$\frac{5^{\frac{m}{6}}}{2^{\frac{m}{4}}}\times n=100$

step2. $n$에 대하여 식을 정리합니다.

$100=2^2\times 5^2$이므로, 양변에 $\frac{2^{\frac{m}{4}}}{5^{\frac{m}{6}}}$을 곱하면 다음과 같습니다.

$n=(2^2\times 5^2)\times \frac{2^{\frac{m}{4}}}{5^{\frac{m}{6}}}$

$n=2^{2+\frac{m}{4}}\times 5^{2-\frac{m}{6}}$

step3. $n$이 자연수가 되기 위한 $m$의 조건을 찾습니다.

$n$이 자연수이려면 소인수분해 형태에서 2와 5의 지수가 모두 0 이상의 정수여야 합니다.

따라서 다음 두 조건을 만족해야 합니다.

1) $2+\frac{m}{4}$가 0 이상의 정수 $\to$ $m$은 4의 배수

2) $2-\frac{m}{6}$이 0 이상의 정수 $\to$ $m$은 6의 배수이고, $2-\frac{m}{6}\ge 0$에서 $m\le 12$

[함정경고] $m$이 4와 6의 공배수라는 것만 찾고, 지수가 0 이상이어야 한다는 조건($m\le 12$)을 놓치면 $m$의 값을 하나로 특정할 수 없어 당황할 수 있습니다.

$m$은 4와 6의 공배수이므로 12의 배수입니다.

자연수 $m$ 중에서 12의 배수이면서 12 이하인 수는 12뿐입니다.

따라서 $m=12$입니다.

step4. $m$의 값을 대입하여 $n$을 구합니다.

$m=12$를 $n$의 식에 대입하면,

$n=2^{2+\frac{12}{4}}\times 5^{2-\frac{12}{6}}=2^{2+3}\times 5^{2-2}=2^5\times 5^0=32\times 1=32$

따라서 $m=12,n=32$이므로 $m+n=12+32=44$입니다.

정답은 44, 즉 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수법칙으로 식 정리

${\left(\frac{5^{1/6}}{2^{1/4}}\right)}^m\times n=100$

$\frac{5^{m/6}}{2^{m/4}}\times n=2^2\times 5^2$

step2. n에 대하여 정리

$n=2^{2+m/4}\times 5^{2-m/6}$

step3. 자연수 조건 적용

--- n이 자연수이려면 지수가 0 이상의 정수여야 함

$2+m/4\ge 0$ 이고 정수 $\Rightarrow$ $m$은 4의 배수

$2-m/6\ge 0$ 이고 정수 $\Rightarrow$ $m$은 6의 배수, $m\le 12$

--- m은 4와 6의 최소공배수인 12의 배수

$\therefore m=12$

step4. n 계산 및 정답 도출

$n=2^{2+3}\times 5^{2-2}=2^5\times 5^0=32$

$\therefore m+n=12+32=44$

$\therefore ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

거듭제곱근이 포함된 복잡한 식을 지수법칙을 이용해 밑이 소수인 형태로 깔끔하게 정리하지 못해 막힐 수 있습니다. 또한 $n$이 자연수라는 조건을 수식으로 어떻게 해석해야 할지 몰라, 지수가 0 이상의 정수여야 한다는 조건을 떠올리지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$을 이용하여 모든 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸고, 우변의 100도 $2^2\times 5^2$으로 소인수분해하여 밑을 2와 5로 통일해 보세요. 어떤 수가 자연수가 되려면 소인수분해했을 때 각 소인수의 지수가 '0 이상의 정수'가 되어야 함을 기억하면 조건을 쉽게 찾을 수 있습니다.

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