2023년 6월 학평 (고2) 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

16. 0이 아닌 실수 $t$에 대하여 두 곡선 $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{4}x$와 직선 $y=t$가 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형 OPQ의 넓이를 $S(t)$라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이다.) <보기> ㄱ. $S(1)=1$ ㄴ. $S(2)=64\times S(-2)$ ㄷ. $t>0$일 때, $t$의 값이 증가하면 $\frac{S(t)}{S(-t)}$의 값도 증가한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 그래프와 직선의 교점의 좌표를 구하고, 이를 이용하여 삼각형의 넓이를 $t$에 대한 식으로 나타낸 후, 주어진 명제의 참/거짓을 판별할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $t\ne 0$인 실수
- 곡선 1: $y={\log }_{2}x$
- 곡선 2: $y={\log }_{4}x$
- 직선: $y=t$
- 교점 P: $y={\log }_{2}x$와 $y=t$의 교점
- 교점 Q: $y={\log }_{4}x$와 $y=t$의 교점
- $S(t)$: 삼각형 OPQ의 넓이, O는 원점(0,0)

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수의 식을 이용하여 교점의 좌표를 구하고, 삼각형의 넓이 공식을 적용하여 $S(t)$를 구한 뒤, 각 보기를 검증하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 P와 Q의 좌표를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 삼각형 OPQ의 넓이 $S(t)$를 구하는 식을 세웁니다.

step3. 보기 ㄱ을 검증합니다.

step4. 보기 ㄴ을 검증합니다.

step5. 보기 ㄷ을 검증합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: $y={\log }_{a}x⟺x=a^y$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0$)

- 삼각형의 넓이: 밑변이 $x$축에 평행한 선분일 때, 넓이는 $\frac{1}{2}\times (\text{밑변의 길이})\times (\text{높이})$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 점 P, Q의 $y$좌표가 $t$로 같으므로, 선분 PQ를 밑변으로 삼으면 삼각형의 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 점 P와 Q의 좌표를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.

점 P는 곡선 $y={\log }_{2}x$와 직선 $y=t$의 교점이므로, $t={\log }_{2}x$에서 $x=2^t$입니다. 따라서 $P(2^t,t)$입니다.

점 Q는 곡선 $y={\log }_{4}x$와 직선 $y=t$의 교점이므로, $t={\log }_{4}x$에서 $x=4^t$입니다. 따라서 $Q(4^t,t)$입니다.

step2. 삼각형 OPQ의 넓이 $S(t)$를 구하는 식을 세웁니다.

선분 PQ는 직선 $y=t$ 위에 있으므로 $x$축과 평행합니다.

따라서 선분 PQ를 삼각형의 밑변으로 하면, 밑변의 길이는 두 점의 $x$좌표의 차이인 $|4^t-2^t|$가 됩니다.

이때 삼각형의 높이는 원점 O에서 직선 $y=t$까지의 거리이므로 $|t|$가 됩니다.

[함정경고] $t$가 음수일 때 밑변의 길이와 높이를 구할 때 절댓값을 씌우는 것을 잊지 마세요. 거리나 넓이는 항상 양수여야 합니다.

그러므로 삼각형 OPQ의 넓이 $S(t)$는 다음과 같습니다.

$S(t)=\frac{1}{2}\times |4^t-2^t|\times |t|$

step3. 보기 ㄱ을 검증합니다.

$t=1$일 때, $S(1)=\frac{1}{2}\times |4^1-2^1|\times |1|=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$입니다.

따라서 보기 ㄱ은 참입니다.

step4. 보기 ㄴ을 검증합니다.

$t=2$일 때, $S(2)=\frac{1}{2}\times |4^2-2^2|\times |2|=\frac{1}{2}\times (16-4)\times 2=12$입니다.

$t=-2$일 때, $S(-2)=\frac{1}{2}\times |4^{-2}-2^{-2}|\times |-2|=\frac{1}{2}\times |\frac{1}{16}-\frac{1}{4}|\times 2=|-\frac{3}{16}|=\frac{3}{16}$입니다.

$64\times S(-2)=64\times \frac{3}{16}=12$이므로, $S(2)=64\times S(-2)$가 성립합니다.

따라서 보기 ㄴ은 참입니다.

step5. 보기 ㄷ을 검증합니다.

$t>0$일 때, $4^t>2^t$이고 $t>0$이므로 절댓값을 벗기면 다음과 같습니다.

$S(t)=\frac{1}{2}(4^t-2^t)t$

$S(-t)$를 구하기 위해 식에 $-t$를 대입하면, $-t<0$이므로 $4^{-t}<2^{-t}$가 됩니다.

$S(-t)=\frac{1}{2}|4^{-t}-2^{-t}|\times |-t|=\frac{1}{2}(2^{-t}-4^{-t})t$

이제 $\frac{S(t)}{S(-t)}$를 계산해 봅니다.

$\frac{S(t)}{S(-t)}=\frac{\frac{1}{2}(4^t-2^t)t}{\frac{1}{2}(2^{-t}-4^{-t})t}=\frac{4^t-2^t}{2^{-t}-4^{-t}}$

분모를 통분하여 정리하면, $2^{-t}-4^{-t}=\frac{1}{2^t}-\frac{1}{4^t}=\frac{2^t-1}{4^t}$입니다.

분자를 공통인수로 묶으면, $4^t-2^t=2^t(2^t-1)$입니다.

따라서 $\frac{S(t)}{S(-t)}=\frac{2^t(2^t-1)}{\frac{2^t-1}{4^t}}=2^t\times 4^t=8^t$가 됩니다.

밑이 $8$로 $1$보다 크므로, $t>0$일 때 $t$의 값이 증가하면 지수함수 $8^t$의 값도 증가합니다.

따라서 보기 ㄷ은 참입니다.

결론적으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 좌표

$P(2^t,t),Q(4^t,t)$

step2. 넓이 $S(t)$

$S(t)=\frac{1}{2}|4^t-2^t||t|$   --- (밑변은 PQ의 길이, 높이는 원점에서 $y=t$까지의 거리)

step3. ㄱ 검증

$S(1)=\frac{1}{2}|4-2|\times 1=1$   --- 참

step4. ㄴ 검증

$S(2)=\frac{1}{2}|16-4|\times 2=12$

$S(-2)=\frac{1}{2}|4^{-2}-2^{-2}||-2|=|\frac{1}{16}-\frac{1}{4}|=\frac{3}{16}$

$64\times S(-2)=64\times \frac{3}{16}=12=S(2)$   --- 참

step5. ㄷ 검증

$t>0$일 때,

$S(t)=\frac{1}{2}(4^t-2^t)t$

$S(-t)=\frac{1}{2}(2^{-t}-4^{-t})t$

$\frac{S(t)}{S(-t)}=\frac{4^t-2^t}{2^{-t}-4^{-t}}=\frac{2^t(2^t-1)}{\frac{2^t-1}{4^t}}=2^t\times 4^t=8^t$

$t$가 증가하면 $8^t$도 증가   --- 참

$\therefore 정답⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

1. $t$가 음수일 때 삼각형의 넓이를 구하는 과정에서 절댓값을 씌우지 않아 부호 실수를 할 가능성이 높습니다. 2. 보기 ㄷ에서 $\frac{S(t)}{S(-t)}$의 식을 정리할 때, 분모의 음수 지수를 양수 지수로 변환하여 약분하는 대수적 조작에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

1. 좌표평면에서 선분의 길이나 거리를 구할 때는 항상 큰 값에서 작은 값을 빼거나 절댓값을 씌워 양수로 만들어야 함을 기억하세요. 2. 지수식의 분수 형태를 간단히 할 때는 분모와 분자에 같은 거듭제곱(여기서는 $4^t$)을 곱하여 음수 지수를 없애는 방법을 사용하면 식이 쉽게 정리됩니다. (팁: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$임을 활용하여 통분하거나 분모/분자에 $a^x$를 곱해보세요.)

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