2023년 6월 학평 (고2) 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 길이가 4인 선분 AB를 지름으로 하는 반원에 대하여 선분 AB의 중점을 O라 하고, 호 AB 위의 점 C에 대하여 점 A를 지나고 선분 OC와 평행한 직선과 호 AB의 교점을 P, 선분 OC와 선분 BP의 교점을 Q라 하자. 점 Q를 지나고 선분 PO와 평행한 직선과 선분 OB의 교점을 D라 하자. $\angle CAB=\theta$라 할 때, 삼각형 QDB의 넓이를 $S(\theta )$, 삼각형 PQC의 넓이를 $T(\theta )$라 하자. 다음은 $S(\theta )$와 $T(\theta )$를 구하는 과정이다. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{4}$) $\angle CAB=\theta$이므로 $\angle COB=2\theta$이다. 삼각형 POB가 이등변삼각형이고 $\angle OQB=\frac{\pi }{2}$ 이므로 점 Q는 선분 PB의 중점이고 $\angle POQ=2\theta$ 이다. 선분 PO와 선분 QD가 평행하므로 삼각형 POB와 삼각형 QDB는 닮음이다. 따라서 $\overline{QD}=$ (가) 이고 $\angle QDB=$ (나) 이므로 $S(\theta )=\frac{1}{2}\times$ (가) $\times 1\times \sin ($ (나) $)$ 이다. $\overline{CQ}=\overline{CO}-\overline{QO}$ 이므로 $T(\theta )=\frac{1}{2}\times \overline{PQ}\times \overline{CQ}=\sin 2\theta \times (2-$ (다) $)$ 이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 $p$라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta )$, $g(\theta )$라 할 때, $p\times f(\frac{\pi }{16})\times g(\frac{\pi }{8})$의 값은? ① $\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$ ② $\frac{\sqrt{2}}{5}\pi$ ③ $\frac{\sqrt{2}}{6}\pi$ ④ $\frac{\sqrt{2}}{7}\pi$ ⑤ $\frac{\sqrt{2}}{8}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 평행선의 성질과 원의 성질을 이용하여 도형의 각도와 길이를 삼각함수로 표현하고, 빈칸을 추론하는 능력을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 선분 AB는 길이가 4인 반원의 지름 (반지름 = 2)
- O는 선분 AB의 중점
- $\angle CAB=\theta$
- 직선 AP ∥ 선분 OC
- Q는 선분 OC와 선분 BP의 교점
- 직선 QD ∥ 선분 PO
- S(θ) = 삼각형 QDB의 넓이
- T(θ) = 삼각형 PQC의 넓이

3. 풀이의 순서

이 문제는 평행선의 성질을 이용하여 각도를 추적하고, 닮음과 삼각비를 통해 선분의 길이를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 평행선 조건 $AP\parallel OC$를 이용하여 $\angle PAB$와 $\angle POB$의 크기를 구합니다.

step2. 삼각형 POB와 QDB의 닮음을 이용하여 $\overline{QD}$의 길이와 $\angle QDB$의 크기를 구하여 (가)와 (나)를 찾습니다.

step3. 직각삼각형 OQB에서 삼각비를 이용하여 $\overline{QO}$의 길이를 구하고, 이를 통해 (다)를 찾습니다.

step4. 구한 식에 주어진 값을 대입하여 최종 정답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 원주각과 중심각의 성질: 한 호에 대한 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배이다.

- 평행선의 성질: 두 직선이 평행할 때, 동위각의 크기는 같다.

- 이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

- 삼각형의 닮음 (중점연결정리): 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 절반이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 평행선 조건 $AP\parallel OC$를 이용하여 각도를 이동시키고, 이등변삼각형의 성질을 통해 직각삼각형을 찾아내는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

step1. 평행선 조건 $AP\parallel OC$를 이용하여 $\angle PAB$와 $\angle POB$의 크기를 구합니다.

호 CB에 대한 원주각이 $\angle CAB=\theta$이므로, 중심각은 $\angle COB=2\theta$입니다.

$AP\parallel OC$이고 직선 AB가 두 평행선을 지나므로, 동위각에 의해 $\angle PAB=\angle COB=2\theta$입니다.

[함정경고] $\angle PAB$와 $\angle COB$가 동위각임을 찾지 못하면 $\angle POB$의 크기를 구하기 어려울 수 있습니다. 평행선 조건이 주어지면 동위각과 엇각을 적극적으로 찾아야 합니다.

호 PB에 대한 원주각이 $\angle PAB=2\theta$이므로, 중심각은 $\angle POB=2\times 2\theta =4\theta$입니다.

$\angle COB=2\theta$이고 $\angle POB=4\theta$이므로, 선분 OC는 $\angle POB$의 이등분선입니다.

삼각형 POB는 $\overline{OP}=\overline{OB}=2$인 이등변삼각형이므로, 꼭지각 O의 이등분선 OC는 밑변 PB를 수직이등분합니다.

따라서 $\angle OQB=\frac{\pi }{2}$이고, 점 Q는 선분 PB의 중점입니다.

step2. 삼각형 POB와 QDB의 닮음을 이용하여 $\overline{QD}$의 길이와 $\angle QDB$의 크기를 구하여 (가)와 (나)를 찾습니다.

$QD\parallel PO$이고 점 Q가 선분 PB의 중점이므로, 삼각형 QDB는 삼각형 POB와 닮음비가 1:2인 닮음입니다.

따라서 $\overline{QD}=\frac{1}{2}\overline{PO}=\frac{1}{2}\times 2=1$입니다.

즉, (가)에 알맞은 수는 1이므로 $p=1$입니다.

또한, 동위각에 의해 $\angle QDB=\angle POB=4\theta$입니다.

즉, (나)에 알맞은 식은 $4\theta$이므로 $f(\theta )=4\theta$입니다.

step3. 직각삼각형 OQB에서 삼각비를 이용하여 $\overline{QO}$의 길이를 구하고, 이를 통해 (다)를 찾습니다.

직각삼각형 OQB에서 $\overline{QO}=\overline{OB}\cos (2\theta )=2\cos (2\theta )$입니다.

$\overline{CQ}=\overline{CO}-\overline{QO}=2-2\cos (2\theta )$입니다.

$\overline{PQ}=\overline{QB}=\overline{OB}\sin (2\theta )=2\sin (2\theta )$이므로,

$T(\theta )=\frac{1}{2}\times \overline{PQ}\times \overline{CQ}=\frac{1}{2}\times 2\sin (2\theta )\times (2-2\cos (2\theta ))=\sin (2\theta )\times (2-2\cos (2\theta ))$입니다.

문제의 식 $T(\theta )=\sin (2\theta )\times (2-\text{(다)})$와 비교하면, (다)에 알맞은 식은 $2\cos (2\theta )$이므로 $g(\theta )=2\cos (2\theta )$입니다.

step4. 구한 식에 주어진 값을 대입하여 최종 정답을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 $p\times f(\frac{\pi }{16})\times g(\frac{\pi }{8})$입니다.

$p=1$

$f(\frac{\pi }{16})=4\times \frac{\pi }{16}=\frac{\pi }{4}$

$g(\frac{\pi }{8})=2\cos (2\times \frac{\pi }{8})=2\cos (\frac{\pi }{4})=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

따라서 $1\times \frac{\pi }{4}\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 각도 및 중점 확인

$\angle CAB=\theta ⟹\angle COB=2\theta$

$AP\parallel OC⟹\angle PAB=2\theta$   --- (동위각)

$\angle POB=2\angle PAB=4\theta$   --- (원주각과 중심각)

$△POB$는 이등변삼각형이고 $OC$가 꼭지각 이등분선이므로 $Q$는 $PB$의 중점

step2. 닮음 이용

$QD\parallel PO$ 이고 $Q$가 중점이므로 $△QDB~△POB$   --- 닮음비 1:2

$\overline{QD}=\frac{1}{2}\overline{PO}=1⟹p=1$

$\angle QDB=\angle POB=4\theta ⟹f(\theta )=4\theta$   --- (동위각)

step3. 삼각비 이용

$△OQB$에서 $\overline{QO}=2\cos 2\theta$

$\overline{CQ}=2-2\cos 2\theta ⟹g(\theta )=2\cos 2\theta$

step4. 정답 계산

$p\times f(\frac{\pi }{16})\times g(\frac{\pi }{8})=1\times \frac{\pi }{4}\times 2\cos \frac{\pi }{4}$

$=\frac{\pi }{4}\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$

$\therefore ①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생은 $AP\parallel OC$ 조건을 어떻게 활용해야 할지 몰라 $\angle POB$의 크기를 구하지 못하거나, $T(\theta )$ 식을 세울 때 $\overline{QO}$의 길이를 삼각비로 표현하는 과정에서 막힐 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

평행선이 주어지면 동위각과 엇각을 먼저 찾으세요. 직선 AB가 두 평행선을 가로지르므로 $\angle PAB$와 $\angle COB$가 동위각임을 알 수 있습니다. 또한, 직각삼각형 OQB에서 빗변 OB의 길이가 2이고 한 예각이 $2\theta$임을 이용하여 밑변과 높이를 삼각비로 표현하는 연습이 필요합니다. 직각삼각형이 보이면 삼각비를 적극 활용하세요.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기