2023년 6월 학평 (고2) 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

20. 1이 아닌 두 자연수 $a,b$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a<b<a^2$ (나) ${\log }_{a}b$는 유리수이다. ${\log }_a<\frac{3}{2}$일 때, $a+b$의 최댓값은? [4점] ① 250 ② 270 ③ 290 ④ 310 ⑤ 330

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 성질과 유리수 조건을 이용하여 가능한 자연수 $a,b$의 순서쌍을 찾고, 주어진 부등식 범위를 만족하는 최댓값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 1이 아닌 두 자연수 $a,b$
- $a<b<a^2$
- ${\log }_{a}b$는 유리수
- ${\log }_a<\frac{3}{2}$ (논리적 모순 존재)

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 정의와 유리수 조건을 활용하여 a, b의 관계를 거듭제곱 형태로 나타내어 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 문제의 수식 오류를 확인하고, 출제 의도에 맞게 $\log a<\frac{3}{2}$로 조건을 확정합니다.

step2. 조건 (나)에서 ${\log }_{a}b$가 유리수임을 이용하여 $a$와 $b$를 공통 밑 $k$의 거듭제곱 꼴로 표현합니다.

step3. 조건 (가)를 이용하여 거듭제곱 지수들의 대소 관계를 구합니다.

step4. $\log a<\frac{3}{2}$ 조건을 만족하는 $a$의 범위를 구하고, 가능한 $a,b$의 순서쌍을 모두 찾아 $a+b$의 최댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질: ${\log }_{a}b=\frac{q}{p}$ 이면 $b=a^{\frac{q}{p}}$ 이다.

- 상용로그: 밑이 10인 로그로, $\log a<1.5$ 이면 $a<{10}^{1.5}=10\sqrt{10}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[주의] 문제 원문에 ${\log }_a<\frac{3}{2}$ 라고 되어 있으나, 로그의 진수가 없어 수학적으로 성립하지 않는 논리적 모순이 있습니다. 만약 ${\log }_{a}b<\frac{3}{2}$ 로 해석하면 $a$의 범위가 제한되지 않아 최댓값을 구할 수 없습니다. 따라서 출제 의도를 신중히 살펴, 논리적 모순을 피하기 위해 상용로그인 $\log a<\frac{3}{2}$ 로 전제하고 풀이합니다.

[키포인트] ${\log }_{a}b$가 유리수라는 조건은 $a$와 $b$가 어떤 자연수 $k$에 대하여 각각 $k^p,k^q$ 꼴로 표현될 수 있음을 의미합니다.

step1. 조건 확정 및 $a$의 범위 구하기

$\log a<\frac{3}{2}$ 에서 밑이 10인 상용로그이므로,

$a<{10}^{\frac{3}{2}}=10\sqrt{10}$ 입니다.

$\sqrt{10}\approx 3.162$ 이므로 $10\sqrt{10}\approx 31.62$ 입니다.

$a$는 1이 아닌 자연수이므로 $2\le a\le 31$ 입니다.

step2. $a,b$를 거듭제곱 꼴로 표현하기

조건 (나)에서 ${\log }_{a}b$가 유리수이므로, ${\log }_{a}b=\frac{q}{p}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)로 둘 수 있습니다.

로그의 정의에 의해 $b=a^{\frac{q}{p}}$ 이고, 양변을 $p$제곱하면 $b^p=a^q$ 입니다.

$a,b$가 자연수이므로, 이를 만족하려면 어떤 자연수 $k$ ($k\ge 2$)에 대하여 $a=k^p$, $b=k^q$ 꼴이어야 합니다.

step3. 지수 $p,q$의 범위 구하기

조건 (가)에서 $a<b<a^2$ 이므로,

$k^p<k^q<(k^p{)}^2=k^{2p}$ 가 성립합니다.

밑 $k$가 2 이상이므로 지수의 대소 관계는 $p<q<2p$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $p=1$이면 $1<q<2$를 만족하는 자연수 $q$가 존재하지 않으므로, $p\ge 2$임을 놓치기 쉽습니다.

step4. 가능한 $a,b$ 찾기 및 최댓값 계산

$a=k^p\le 31$ 이고 $p\ge 2$ 인 경우를 모두 찾습니다.

1) $k=2$ 일 때:

- $p=2\Rightarrow a=4$. $2<q<4$ 이므로 $q=3$. $b=2^3=8$. $a+b=12$

- $p=3\Rightarrow a=8$. $3<q<6$ 이므로 $q=4,5$. $b=16,32$. $a+b=24,40$

- $p=4\Rightarrow a=16$. $4<q<8$ 이므로 $q=5,7$ ($q=6$은 $p$와 서로소가 아님). $b=32,128$. $a+b=48,144$

2) $k=3$ 일 때:

- $p=2\Rightarrow a=9$. $2<q<4$ 이므로 $q=3$. $b=3^3=27$. $a+b=36$

- $p=3\Rightarrow a=27$. $3<q<6$ 이므로 $q=4,5$. $b=3^4=81,3^5=243$. $a+b=108,270$

3) $k=4$ 일 때:

$a=4^p=2^{2p}$ 이므로 $k=2$ 인 경우에 포함됩니다.

4) $k=5$ 일 때:

- $p=2\Rightarrow a=25$. $2<q<4$ 이므로 $q=3$. $b=5^3=125$. $a+b=150$

따라서 $a+b$의 최댓값은 $k=3,p=3,q=5$ 일 때 $a=27,b=243$ 이며, 그 합은 $270$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 확정

$\log a<\frac{3}{2}$   --- (진수 누락 오타, 상용로그로 해석)

$a<{10}^{1.5}=10\sqrt{10}\approx 31.62$

$2\le a\le 31$

step2. 거듭제곱 표현

${\log }_{a}b=\frac{q}{p}$   --- $p,q$는 서로소

$b=a^{\frac{q}{p}}\Rightarrow a=k^p,b=k^q$

step3. 지수 범위

$a<b<a^2$

$k^p<k^q<k^{2p}\Rightarrow p<q<2p$   --- ($p\ge 2$)

step4. 최댓값 계산

$a=k^p\le 31$

$k=2$:

$p=4\Rightarrow a=16,q=7\Rightarrow b=128\Rightarrow a+b=144$

$k=3$:

$p=3\Rightarrow a=27,q=5\Rightarrow b=243\Rightarrow a+b=270$

$k=5$:

$p=2\Rightarrow a=25,q=3\Rightarrow b=125\Rightarrow a+b=150$

$\therefore 최댓값=270$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

문제의 수식 ${\log }_a<\frac{3}{2}$에 진수가 빠져 있어 당황하거나, 이를 ${\log }_{a}b<\frac{3}{2}$로 잘못 해석하여 $a$의 범위를 한정하지 못해 막힐 수 있습니다. ${\log }_{a}b$가 유리수라는 조건에서 $a$와 $b$를 공통 밑 $k$의 거듭제곱 꼴($a=k^p,b=k^q$)로 변환하는 발상을 떠올리지 못해 접근하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

수식의 형태와 최댓값을 구해야 하는 문제 구조를 고려하여, $a$의 상한을 결정짓는 상용로그 $\log a<\frac{3}{2}$로 조건을 합리적으로 해석해야 합니다. 로그값이 유리수라는 조건이 나오면, 진수와 밑을 같은 자연수의 거듭제곱으로 표현하여 지수들의 비로 나타내는 연습을 해보세요.

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