2023년 6월 학평 (고2) 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)=-4$ 의 해를 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 정의를 이용하여 로그방정식을 지수방정식으로 변환하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)=-4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 정의를 이용하여 지수 형태로 변환하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 진수 조건을 확인합니다.

step2. 로그의 정의를 이용하여 주어진 방정식을 지수 형태로 변환합니다.

step3. 지수 법칙을 이용하여 우변을 계산하고, 일차방정식을 풀어 $x$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $x$의 값이 진수 조건을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: $a>0,a\ne 1,b>0$일 때, ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$

- 진수 조건: 로그 ${\log }_{a}b$가 정의되기 위해서는 진수 $b>0$이어야 합니다.

- 지수 법칙: $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

5. 구체적 풀이

학생, 로그방정식을 만나서 조금 당황했을 수 있겠네요. 하지만 로그의 정의만 정확히 기억한다면 아주 쉽게 풀 수 있는 문제랍니다. 차근차근 함께 풀어볼까요?

[키포인트] 로그방정식을 풀 때는 가장 먼저 '진수 조건'을 확인하고, 로그의 정의를 이용해 지수 형태로 바꾸는 것이 핵심입니다.

step1. 로그의 진수 조건을 확인합니다.

로그 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)$ 에서 진수는 $x+3$ 입니다.

로그가 정의되려면 진수는 항상 양수여야 하므로,

$x+3>0$ 즉, $x>-3$ 이어야 합니다.

[함정경고] 로그방정식을 풀 때 진수 조건을 확인하지 않고 답을 내면, 나중에 무연근(조건을 만족하지 않는 가짜 해)을 답으로 적는 실수를 할 수 있으니 주의해야 합니다.

step2. 로그의 정의를 이용하여 주어진 방정식을 지수 형태로 변환합니다.

로그의 정의 ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$ 를 이용합니다.

밑이 $\frac{1}{2}$ 이고, 진수가 $x+3$, 로그값이 $-4$ 이므로,

$x+3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}$ 로 바꿀 수 있습니다.

step3. 지수 법칙을 이용하여 우변을 계산하고, 일차방정식을 풀어 $x$의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2}=2^{-1}$ 이므로,

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=(2^{-1}{)}^{-4}=2^4=16$ 입니다.

따라서 방정식은 $x+3=16$ 이 됩니다.

이를 풀면 $x=16-3=13$ 입니다.

step4. 구한 $x$의 값이 진수 조건을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

우리가 구한 $x=13$ 은 step1에서 확인한 진수 조건 $x>-3$ 을 만족합니다.

따라서 이 방정식의 해는 $13$ 입니다.

[정답] 13

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x+3>0⟹x>-3$

step2. 지수 형태로 변환

$x+3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}$   --- (로그의 정의 이용)

step3. 방정식 풀이

$x+3=(2^{-1}{)}^{-4}$

$x+3=2^4=16$

$x=13$

step4. 조건 확인

$x=13$은 $x>-3$을 만족함.

$\therefore 13$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

로그의 정의를 이용하여 로그식을 지수식으로 변환하는 과정에서 밑과 지수의 위치를 헷갈렸을 수 있습니다. 음수 지수 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}$ 를 계산하는 지수 법칙 적용에서 막혔을 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

${\log }_{a}b=c$ 는 '밑 $a$를 $c$번 곱하면 $b$가 된다'는 뜻인 $a^c=b$ 로 기억해두세요. 분수의 음수 거듭제곱은 역수의 양수 거듭제곱과 같습니다. 즉, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=2^4=16$ 으로 바로 계산하는 연습을 해보세요.

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