2023년 6월 학평 (고2) 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

등식 $(3^a+3^{-a}{)}^2=2(3^a+3^{-a})+8$ 을 만족시키는 실수 $a$에 대하여 ${27}^a+{27}^{-a}$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙과 치환을 이용하여 이차방정식을 풀고, 곱셈공식의 변형을 통해 원하는 식의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $(3^a+3^{-a}{)}^2=2(3^a+3^{-a})+8$
- $a$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통부분을 치환하여 이차방정식을 풀고, 곱셈공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $3^a+3^{-a}$를 $t$로 치환하고 $t$의 값의 범위를 구합니다.

step2. 주어진 등식을 $t$에 대한 이차방정식으로 나타내어 $t$의 값을 구합니다.

step3. 곱셈공식의 변형을 이용하여 ${27}^a+{27}^{-a}$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환과 산술·기하 평균의 관계: $x>0,y>0$일 때 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ (단, 등호는 $x=y$일 때 성립). 이를 이용하여 $3^a+3^{-a}\ge 2$임을 알 수 있습니다.

- 곱셈공식의 변형: $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 지수방정식이나 식의 값을 구하는 문제에서는 공통부분을 치환하여 식을 간단히 만드는 것이 핵심입니다. 이때 치환한 문자의 범위를 반드시 확인해야 합니다.

step1. $3^a+3^{-a}$를 $t$로 치환하고 $t$의 값의 범위를 구합니다.

$3^a>0,3^{-a}>0$이므로 산술·기하 평균의 관계에 의해

$t=3^a+3^{-a}\ge 2\sqrt{3^a·3^{-a}}=2\sqrt{1}=2$ 입니다.

따라서 $t\ge 2$ 입니다.

[함정경고] 치환을 할 때 $t$의 범위를 구하지 않으면, 나중에 이차방정식을 풀었을 때 나오는 음수 해를 걸러내지 못하는 실수를 할 수 있습니다.

step2. 주어진 등식을 $t$에 대한 이차방정식으로 나타내어 $t$의 값을 구합니다.

주어진 등식 $(3^a+3^{-a}{)}^2=2(3^a+3^{-a})+8$ 에 $t$를 대입하면

$t^2=2t+8$

$t^2-2t-8=0$

$(t-4)(t+2)=0$

$t=4$ 또는 $t=-2$ 입니다.

step1. 에서 $t\ge 2$ 이므로 $t=4$ 가 됩니다.

즉, $3^a+3^{-a}=4$ 입니다.

step3. 곱셈공식의 변형을 이용하여 ${27}^a+{27}^{-a}$의 값을 계산합니다.

${27}^a+{27}^{-a}=(3^3{)}^a+(3^3{)}^{-a}=(3^a{)}^3+(3^{-a}{)}^3$ 입니다.

곱셈공식의 변형 $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ 를 이용하면,

$(3^a{)}^3+(3^{-a}{)}^3=(3^a+3^{-a}{)}^3-3·3^a·3^{-a}(3^a+3^{-a})$

$=t^3-3·1·t=t^3-3t$ 가 됩니다.

여기에 $t=4$ 를 대입하면

$4^3-3·4=64-12=52$ 입니다.

[정답] 52

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환 및 범위 설정

$3^a+3^{-a}=t$ 라 하면

$t\ge 2\sqrt{3^a·3^{-a}}=2$   --- (산술·기하 평균 이용)

step2. 이차방정식 풀이

$t^2=2t+8$

$t^2-2t-8=0$

$(t-4)(t+2)=0$

$t\ge 2$ 이므로 $t=4$

step3. 식의 값 계산

${27}^a+{27}^{-a}=(3^a{)}^3+(3^{-a}{)}^3$

$=(3^a+3^{-a}{)}^3-3·3^a·3^{-a}(3^a+3^{-a})$   --- (곱셈공식의 변형 이용)

$=t^3-3t$

$=4^3-3(4)$

$=64-12=52$

$\therefore 52$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- $3^a+3^{-a}$를 치환하여 이차방정식을 세우는 것까지는 잘 하더라도, 치환한 변수의 범위를 고려하지 않아 $t=-2$를 선택하거나 혼란을 겪을 수 있습니다. - ${27}^a+{27}^{-a}$를 $(3^a{)}^3+(3^{-a}{)}^3$으로 변형한 뒤, 곱셈공식을 정확히 떠올리지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

- 지수함수의 값은 항상 양수이므로 $3^a>0,3^{-a}>0$임을 기억하고, 산술·기하 평균을 통해 $3^a+3^{-a}\ge 2$라는 조건을 명확히 설정하세요. - $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ 공식을 암기하고, $xy=3^a·3^{-a}=1$이 되어 식이 간단해짐을 활용하세요. 역수 관계의 합은 항상 이 패턴을 따릅니다.

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