2023년 6월 학평 (고2) 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질, 집합)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 전체의 집합의 두 부분집합 $A=\{a,b,c\},B=\{{\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c\}$에 대하여 $a+b=24$이고 집합 $B$의 모든 원소의 합이 12일 때, 집합 $A$의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, $a,b,c$는 서로 다른 세 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 성질과 집합의 원소 조건을 이용하여 주어진 방정식을 만족하는 자연수를 찾고, 집합의 원소의 합을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $A=\{a,b,c\}$는 자연수 전체의 집합의 부분집합
- $B=\{{\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c\}$는 자연수 전체의 집합의 부분집합
- $a+b=24$
- 집합 $B$의 모든 원소의 합은 12
- $a,b,c$는 서로 다른 세 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 집합의 원소가 자연수라는 조건을 통해 미지수의 형태를 특정하고 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 집합 $B$의 원소 조건을 이용하여 $a,b,c$가 2의 거듭제곱수임을 파악합니다.

step2. $a+b=24$를 만족하는 2의 거듭제곱수 $a,b$를 구합니다.

step3. 집합 $B$의 원소의 합이 12임을 이용하여 $c$의 값을 구합니다.

step4. 집합 $A$의 모든 원소의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: ${\log }_{a}x=y⟺a^y=x$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0$)

- 부분집합의 성질: 집합 $B$가 자연수 집합의 부분집합이므로, $B$의 모든 원소는 자연수이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 집합 $B$가 자연수 전체의 집합의 부분집합이라는 조건이 이 문제의 핵심입니다. 이를 통해 $a,b,c$가 어떤 수인지 형태를 특정할 수 있습니다.

step1. 집합 $B=\{{\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c\}$가 자연수 전체의 집합의 부분집합이므로, ${\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c$는 모두 자연수입니다. 따라서 $a,b,c$는 2의 거듭제곱수 형태인 $2^k$ ($k$는 자연수) 꼴이어야 합니다.

step2. $a+b=24$를 만족하는 2의 거듭제곱수 $a,b$를 찾습니다. 2의 거듭제곱수는 2, 4, 8, 16, 32, ... 이며, 이 중 합이 24가 되는 두 수는 8과 16입니다. 따라서 $\{a,b\}=\{8,16\}$입니다.

step3. 집합 $B$의 원소는 ${\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c$입니다. $a,b$가 8, 16이므로 ${\log }_{2}a,{\log }_{2}b$는 각각 3, 4입니다. 집합 $B$의 모든 원소의 합이 12이므로, $3+4+{\log }_{2}c=12$가 성립합니다. 이를 풀면 $7+{\log }_{2}c=12$에서 ${\log }_{2}c=5$가 되어 $c=2^5=32$입니다.

[함정경고] 여기서 $c$의 값을 구할 때, ${\log }_{2}c=5$에서 $c=5^2=25$로 착각하기 쉽습니다. 로그의 정의에 따라 밑이 2이므로 $c=2^5=32$임을 주의해야 합니다.

step4. 집합 $A$의 모든 원소의 합은 $a+b+c=8+16+32=56$입니다.

[정답] 56

⚡ 실전용 풀이

step1. $a,b,c$의 형태 파악

$B\subset \mathbb{N}$ 이므로 ${\log }_{2}a,{\log }_{2}b,{\log }_{2}c\in \mathbb{N}$

$\therefore a,b,c$는 $2^k$ ($k\in \mathbb{N}$) 꼴

step2. $a,b$ 구하기

$a+b=24$

$2^x+2^y=24$   --- (2의 거듭제곱수 중 합이 24인 수 찾기)

$\{a,b\}=\{8,16\}$

step3. $c$ 구하기

${\log }_{2}a+{\log }_{2}b+{\log }_{2}c=12$

$3+4+{\log }_{2}c=12$

${\log }_{2}c=5$

$c=32$

step4. 정답 도출

$a+b+c=8+16+32=56$

$\therefore 56$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

집합 $B$가 자연수 전체의 집합의 부분집합이라는 조건을 놓쳐서 $a,b,c$가 2의 거듭제곱수임을 파악하지 못할 수 있습니다. 또한, $a+b=24$를 만족하는 수를 찾을 때 막연하게 접근하여 시간을 낭비할 수 있습니다.

🔑 돌파구

집합의 원소가 자연수라는 조건은 매우 강력한 힌트입니다. ${\log }_{2}x$가 자연수가 되려면 $x$는 2의 거듭제곱수여야 한다는 점을 먼저 떠올리세요. 이후 2의 거듭제곱수들을 나열해 보면 합이 24가 되는 두 수를 쉽게 찾을 수 있습니다.

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