2023년 6월 학평 (고2) 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 절댓값 그래프)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=|x-k|-4$ ($k$는 실수)와 양의 실수 $a(a\ne 1)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=\{\begin{array}{cc}{a}^{-f(x)}\hfill & (f(x)<0)\hfill \\ a^{f(x)}\hfill & (f(x)\ge 0)\hfill \end{array}$ 이라 하자. 함수 $y=g(x)$의 그래프와 직선 $y=16$의 교점의 개수가 3이고 $g(1)=16$일 때, 모든 $f(a-2)$ 값의 합을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 절댓값을 포함한 함수의 그래프 개형을 이해하고, 지수방정식의 실근의 개수 조건을 통해 미지수를 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f(x) = |x-k| - 4 (k는 실수)
- $a>0,a\ne 1$
- $g(x)=a^{-f(x)}(f(x)<0일때)$
- $g(x)=a^{f(x)}(f(x)\ge 0일때)$
- y = g(x) 그래프와 y = 16 직선의 교점의 개수는 3
- g(1) = 16

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건부로 정의된 함수를 절댓값 기호로 간단히 표현한 뒤, 방정식의 실근 개수 조건을 해석하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건에 따라 함수 $g(x)$의 식을 절댓값을 이용하여 간단히 정리합니다.

step2. $y=g(x)$와 $y=16$의 교점의 개수가 3개라는 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. $g(1)=16$ 조건을 이용하여 가능한 $k$의 값들을 모두 구합니다.

step4. 구한 $a$와 $k$의 값들을 이용하여 $f(a-2)$의 값들을 계산하고 그 합을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 절댓값 함수의 성질: $|A|=A(A\ge 0),-A(A<0)$ 임을 이용하여 조건부 함수식을 하나의 식으로 간단히 표현합니다.

- 절댓값 방정식의 실근의 개수: 방정식 $|X|=C$ 에서 $C>0$ 이면 2개, $C=0$ 이면 1개, $C<0$ 이면 0개의 실근을 가짐을 이용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $g(x)$의 지수 부분을 보면 $f(x)$의 부호에 따라 부호가 바뀝니다. 이는 절댓값의 정의와 완벽히 일치하므로, $g(x)=a^{|f(x)|}$로 묶어내는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. $g(x)$ 식 정리

$f(x)<0$일 때는 $g(x)=a^{-f(x)}$이고, $f(x)\ge 0$일 때는 $g(x)=a^{f(x)}$입니다.

절댓값의 정의에 의해 $|f(x)|$는 $f(x)<0$일 때 $-f(x)$, $f(x)\ge 0$일 때 $f(x)$이므로, 함수 $g(x)$는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

$g(x)=a^{|f(x)|}$

step2. 교점 조건으로 $a$ 구하기

$y=g(x)$의 그래프와 직선 $y=16$의 교점이 3개라는 것은 방정식 $a^{|f(x)|}=16$의 서로 다른 실근이 3개라는 뜻입니다.

양변에 밑이 $a$인 로그를 취하면,

$|f(x)|={\log }_{a}16$

[함정경고] 여기서 무심코 넘어가기 쉽지만, 좌변이 절댓값이므로 항상 0 이상입니다. 따라서 우변인 ${\log }_{a}16\ge 0$이어야 합니다. $a>0,a\ne 1$이고 진수가 $16>1$이므로, $a>1$임을 반드시 짚고 넘어가야 합니다.

이제 $f(x)=|x-k|-4$를 대입하면,

$||x-k|-4|={\log }_{a}16$

절댓값을 풀면 두 개의 방정식이 나옵니다.

$|x-k|-4={\log }_{a}16⟹|x-k|=4+{\log }_{a}16$

$|x-k|-4=-{\log }_{a}16⟹|x-k|=4-{\log }_{a}16$

${\log }_{a}16>0$이므로 첫 번째 방정식의 우변 $4+{\log }_{a}16$은 양수입니다. 따라서 첫 번째 방정식은 항상 서로 다른 2개의 실근을 갖습니다.

전체 실근의 개수가 3개가 되려면, 두 번째 방정식 $|x-k|=4-{\log }_{a}16$이 정확히 1개의 실근(중근)을 가져야 합니다.

절댓값 방정식이 1개의 실근을 가질 조건은 우변이 0이 되는 것이므로,

$4-{\log }_{a}16=0⟹{\log }_{a}16=4$

$a^4=16$ 이고 $a>1$이므로 $a=2$입니다.

step3. $g(1)=16$ 조건으로 $k$ 구하기

$a=2$를 대입하여 $g(1)=16$ 조건을 적용합니다.

$g(1)=2^{|f(1)|}=16=2^4$

따라서 $|f(1)|=4$입니다.

절댓값을 풀면 $f(1)=4$ 또는 $f(1)=-4$가 됩니다.

1) $f(1)=4$인 경우:

$|1-k|-4=4⟹|1-k|=8$

$1-k=8$ 또는 $1-k=-8$ 이므로 $k=-7$ 또는 $k=9$입니다.

2) $f(1)=-4$인 경우:

$|1-k|-4=-4⟹|1-k|=0$

따라서 $k=1$입니다.

가능한 $k$의 값은 $-7,1,9$입니다.

step4. $f(a-2)$ 값 계산

$a=2$이므로 우리가 구해야 할 값은 $f(a-2)=f(0)$입니다.

$f(0)=|0-k|-4=|k|-4$

각 $k$의 값에 대해 $f(0)$을 계산하면,

$k=-7$일 때, $f(0)=|-7|-4=3$

$k=1$일 때, $f(0)=|1|-4=-3$

$k=9$일 때, $f(0)=|9|-4=5$

모든 $f(a-2)$ 값의 합은 $3+(-3)+5=5$입니다.

[정답] 5

⚡ 실전용 풀이

step1. $g(x)$ 식 정리

$g(x)=\{\begin{array}{cc}{a}^{-f(x)}\hfill & (f(x)<0)\hfill \\ a^{f(x)}\hfill & (f(x)\ge 0)\hfill \end{array}=a^{|f(x)|}$

step2. 교점 조건으로 $a$ 구하기

$g(x)=16⟹a^{|f(x)|}=16⟹|f(x)|={\log }_{a}16$

$a>0,a\ne 1$ 이고 $|f(x)|\ge 0$ 이므로 $a>1$ 이어야 함.

$||x-k|-4|={\log }_{a}16$

$|x-k|-4=\pm {\log }_{a}16$

$|x-k|=4+{\log }_{a}16$ 또는 $|x-k|=4-{\log }_{a}16$

---(교점이 3개이려면 한 방정식은 2개, 다른 하나는 1개의 실근을 가져야 함)

$4+{\log }_{a}16>0$ 이므로 여기서 실근 2개.

따라서 $4-{\log }_{a}16=0$ 이어야 실근 1개(중근)를 가짐.

${\log }_{a}16=4⟹a^4=16⟹a=2$

step3. $g(1)=16$ 조건으로 $k$ 구하기

$g(1)=2^{|f(1)|}=16=2^4⟹|f(1)|=4$

$f(1)=4$ 또는 $f(1)=-4$

$|1-k|-4=4⟹|1-k|=8⟹k=9,-7$

$|1-k|-4=-4⟹|1-k|=0⟹k=1$

step4. $f(a-2)$ 값 계산

$a=2$ 이므로 $f(a-2)=f(0)=|0-k|-4=|k|-4$

$k=9$ 일 때, $f(0)=5$

$k=-7$ 일 때, $f(0)=3$

$k=1$ 일 때, $f(0)=-3$

∴ 모든 값의 합 = $5+3+(-3)=5$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건부로 나뉜 $g(x)$의 정의를 보고 당황하여 이를 $g(x)=a^{|f(x)|}$라는 하나의 식으로 간단히 정리하지 못할 수 있습니다. 또한, 교점의 개수가 3개라는 조건에서 절댓값 방정식 $|x-k|=4-c$가 중근을 가져야 한다는 사실을 파악하지 못해 $a$의 값을 구하는 데 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$f(x)$의 부호에 따라 나뉜 $g(x)$의 지수 부분을 살펴보면, $f(x)<0$일 때는 $-f(x)$, $f(x)\ge 0$일 때는 $f(x)$이므로 이는 정확히 절댓값 $|f(x)|$의 정의와 일치함을 파악해야 합니다. $|X|=C$ 형태의 방정식에서 실근의 개수는 $C$의 부호에 따라 결정되므로, 전체 실근이 3개가 되려면 두 방정식 중 하나는 2개, 다른 하나는 1개의 실근을 가져야 함을 이용하세요. (팁: 절댓값 방정식의 해의 개수는 우변의 부호가 결정합니다.)

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