2023년 6월 학평 (고2) 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=4\cos (x+\pi )+k$의 그래프가 점 $(\frac{\pi }{3},5)$를 지날 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 각 변환 성질을 이용하여 주어진 점을 지나는 함수의 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=4\cos (x+\pi )+k$
- 그래프가 점 $(\frac{\pi }{3},5)$를 지남

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 각 변환 성질과 대입을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 점의 좌표를 함수 식에 대입합니다.

step2. 삼각함수의 각 변환 성질을 이용하여 코사인 값을 계산합니다.

step3. 계산된 값을 식에 대입하여 상수 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 각 변환: $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$

5. 구체적 풀이

step1. 함수 $f(x)=4\cos (x+\pi )+k$의 그래프가 점 $(\frac{\pi }{3},5)$를 지나므로, $x=\frac{\pi }{3}$일 때 $f(x)=5$입니다.

식에 대입하면 $4\cos (\frac{\pi }{3}+\pi )+k=5$가 됩니다.

step2. [키포인트]** 삼각함수의 각 변환 성질인 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$를 이용합니다.

$\cos (\frac{\pi }{3}+\pi )=-\cos (\frac{\pi }{3})$입니다.

$\cos (\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$이므로, $\cos (\frac{\pi }{3}+\pi )=-\frac{1}{2}$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 부호를 헷갈려 $\cos (\frac{\pi }{3}+\pi )=\frac{1}{2}$로 착각하기 쉬우니 주의해야 합니다. $\pi +\frac{\pi }{3}$는 제3사분면의 각이므로 코사인 값은 음수입니다.

step3. 구한 값을 원래 식에 대입합니다.

$4\times (-\frac{1}{2})+k=5$

$-2+k=5$

따라서 $k=7$입니다.

[정답] 7

⚡ 실전용 풀이

step1. 대입

$f(\frac{\pi }{3})=4\cos (\frac{\pi }{3}+\pi )+k=5$

step2. 각 변환

$4(-\cos \frac{\pi }{3})+k=5$   --- ($\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$ 이용)

$4(-\frac{1}{2})+k=5$

step3. $k$ 계산

$-2+k=5$

$\therefore 7$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

삼각함수의 각 변환 공식인 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$를 정확히 기억하지 못하거나, $\frac{4\pi }{3}$의 코사인 값을 구할 때 부호를 잘못 판단하여 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\pi +\theta$ 꼴의 각 변환에서는 함수가 그대로 유지되고, 제3사분면의 각이므로 코사인의 부호가 음수(-)가 됨을 떠올려야 합니다. 단위원에서 동경의 위치를 그려보면 부호를 쉽게 확인할 수 있습니다.

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