2023년 6월 학평 (고2) 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 도형)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

15. $-\frac{3}{2}\pi \le x\le \frac{3}{2}\pi$에서 정의된 함수 $f(x)=a\cos \frac{2}{3}x+a$ $(a>0)$ 이 있다. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 A, 직선 $y=\frac{a}{2}$와 만나는 두 점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 ABC가 정삼각형일 때, $a$의 값은? [4점] ① $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$ ② $\frac{5\sqrt{3}}{12}\pi$ ③ $\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$ ④ $\frac{7\sqrt{3}}{12}\pi$ ⑤ $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 교점의 좌표를 구하고, 정삼각형의 성질을 적용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=a\cos \frac{2}{3}x+a$ $(a>0)$
- 정의역: $-\frac{3}{2}\pi \le x\le \frac{3}{2}\pi$
- 점 A: $y=f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점
- 점 B, C: $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=\frac{a}{2}$와 만나는 두 점
- 삼각형 ABC는 정삼각형

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 식을 이용하여 각 꼭짓점의 좌표를 구한 뒤, 정삼각형의 높이 공식을 적용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $y$축과의 교점인 점 A의 좌표를 구합니다.

step2. 직선 $y=\frac{a}{2}$와의 교점인 점 B, C의 좌표를 구합니다.

step3. 삼각형 ABC가 정삼각형임을 이용하여, 밑변의 길이와 높이의 관계식으로부터 $a$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각방정식의 풀이: $\cos \theta =k$ 꼴의 방정식을 주어진 범위 내에서 풀어 해를 구합니다.

- 정삼각형의 높이 공식: 한 변의 길이가 $l$인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}l$입니다.

5. 구체적 풀이

step1. 점 A의 좌표를 구합니다.

점 A는 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점이므로 $x=0$을 대입합니다.

$f(0)=a\cos (0)+a=a·1+a=2a$

따라서 점 A의 좌표는 $(0,2a)$입니다.

step2. 점 B, C의 좌표를 구합니다.

점 B, C는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=\frac{a}{2}$가 만나는 점이므로 $f(x)=\frac{a}{2}$를 풉니다.

$a\cos \frac{2}{3}x+a=\frac{a}{2}$

$a\cos \frac{2}{3}x=-\frac{a}{2}$

조건에서 $a>0$이므로 양변을 $a$로 나누면,

$\cos \frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}$

주어진 $x$의 범위가 $-\frac{3}{2}\pi \le x\le \frac{3}{2}\pi$이므로, 각도 $\frac{2}{3}x$의 범위는 $-\pi \le \frac{2}{3}x\le \pi$입니다.

이 범위에서 코사인 값이 $-\frac{1}{2}$이 되는 각도는 $\frac{2}{3}\pi$와 $-\frac{2}{3}\pi$입니다.

즉, $\frac{2}{3}x=-\frac{2}{3}\pi$ 또는 $\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\pi$입니다.

이를 풀면 $x=-\pi$ 또는 $x=\pi$가 됩니다.

그림에서 점 B의 $x$좌표가 음수이므로 B$(-\pi ,\frac{a}{2})$, C$(\pi ,\frac{a}{2})$입니다.

[키포인트] 삼각방정식을 풀 때 치환한 각도의 범위를 정확히 구하는 것이 중요합니다.

step3. 정삼각형의 성질을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

삼각형 ABC는 정삼각형입니다.

선분 BC는 $x$축에 평행하므로, 선분 BC의 길이는 두 점의 $x$좌표의 차이입니다.

선분 BC의 길이 $=\pi -(-\pi )=2\pi$

정삼각형의 한 변의 길이가 $2\pi$이므로, 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times (한변의길이)$ 공식을 이용하면,

높이 $=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2\pi =\sqrt{3}\pi$입니다.

한편, 좌표평면에서 점 A$(0,2a)$에서 선분 BC(직선 $y=\frac{a}{2}$)까지의 거리가 삼각형의 높이가 됩니다.

높이 $=2a-\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a$

[함정경고] 점 A의 $y$좌표와 선분 BC의 $y$좌표의 차이를 구할 때 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.

따라서 두 높이가 같아야 하므로,

$\frac{3}{2}a=\sqrt{3}\pi$

$a=\sqrt{3}\pi \times \frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

결과적으로 $a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$이며, 이는 보기 ⑤와 일치합니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A의 좌표

$f(0)=a\cos 0+a=2a$

$\therefore A(0,2a)$

step2. 점 B, C의 좌표

$a\cos \frac{2}{3}x+a=\frac{a}{2}$

$\cos \frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}$

$-\pi \le \frac{2}{3}x\le \pi$ 이므로

$\frac{2}{3}x=\pm \frac{2}{3}\pi \Rightarrow x=\pm \pi$

$\therefore B(-\pi ,\frac{a}{2}),C(\pi ,\frac{a}{2})$

step3. 정삼각형 조건

$\overline{BC}=\pi -(-\pi )=2\pi$

높이 $h=2a-\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a$

정삼각형이므로 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \overline{BC}$ 에 대입하면

$\frac{3}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2\pi =\sqrt{3}\pi$

$\therefore a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 삼각방정식 $\cos \frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}$를 풀 때, $x$의 범위를 고려하여 해를 정확히 찾는 과정에서 막힐 수 있습니다. 또한, 세 점의 좌표를 구한 후 정삼각형의 성질(높이와 한 변의 길이 관계)을 수식으로 연결하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각방정식을 풀 때는 먼저 $\frac{2}{3}x=\theta$로 치환하고 $\theta$의 범위를 구한 뒤 단위원이나 그래프를 그려 해를 찾으세요. 정삼각형 문제에서는 좌표를 통해 한 변의 길이와 높이를 각각 구한 후, '높이 = $\frac{\sqrt{3}}{2}\times$ 한 변의 길이' 공식을 세워 미지수를 해결하세요.

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