2023년 6월 학평 (고2) 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

10. 세 상수 $a,b,c$에 대하여 함수 $y=a\sin bx+c$의 그래프가 그림과 같을 때, $a\times b\times c$의 값은? (단, $a>0,b>0$) [3점] ① 1 ② $\frac{3}{2}$ ③ 2 ④ $\frac{5}{2}$ ⑤ 3

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수 그래프의 최댓값, 최솟값, 주기를 이용하여 미정계수 $a,b,c$를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y=a\sin bx+c$
- $a>0,b>0$
- 그래프에서 최댓값은 5
- 그래프에서 최솟값은 1
- 그래프에서 $x=\pi$일 때 최댓값, $x=3\pi$일 때 최솟값을 가짐

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 그래프의 특징(최댓값, 최솟값, 주기)을 파악하여 미정계수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 그래프에서 최댓값과 최솟값을 읽어내어 $a$와 $c$에 대한 연립방정식을 세우고 풉니다.

step2. 그래프에서 최댓값과 최솟값이 나타나는 $x$ 좌표를 이용하여 주기를 구하고, 이를 통해 $b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a,b,c$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 최댓값과 최솟값: 함수 $y=a\sin (bx+c)+d$의 최댓값은 $|a|+d$, 최솟값은 $-|a|+d$이다.

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=a\sin (bx+c)+d$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 $y=a\sin bx+c$의 그래프에서 최댓값은 $a+c$ ($a>0$), 최솟값은 $-a+c$ ($a>0$)이며, 주기는 $\frac{2\pi }{b}$ ($b>0$)임을 이용합니다.

step1. 그래프에서 최댓값과 최솟값을 확인하여 $a$와 $c$를 구합니다.

주어진 그래프를 보면 $y$의 최댓값은 $5$이고, 최솟값은 $1$입니다.

함수 $y=a\sin bx+c$에서 $a>0$이므로,

최댓값: $a+c=5$

최솟값: $-a+c=1$

이 두 식을 연립하여 더하면,

$2c=6$ 이므로 $c=3$입니다.

$c=3$을 첫 번째 식에 대입하면,

$a+3=5$ 이므로 $a=2$입니다.

step2. 그래프에서 주기를 확인하여 $b$를 구합니다.

그래프에서 $x=\pi$일 때 최댓값을 가지고, $x=3\pi$일 때 최솟값을 가집니다.

사인 함수의 그래프에서 최댓값을 가지는 $x$ 좌표와 그 다음 최솟값을 가지는 $x$ 좌표의 차이는 주기의 절반($\frac{1}{2}$)에 해당합니다.

따라서, $\frac{1}{2}\times (주기)=3\pi -\pi =2\pi$ 입니다.

그러므로 주기 $T=4\pi$ 입니다.

함수 $y=a\sin bx+c$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$ 이고, 조건에서 $b>0$이므로 주기는 $\frac{2\pi }{b}$ 입니다.

$\frac{2\pi }{b}=4\pi$ 이므로, $b=\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}$ 입니다.

[함정경고] 주기 공식을 적용할 때 $b$의 부호를 확인하지 않고 절댓값을 빠뜨리면 오류가 발생할 수 있습니다. 문제 조건에 $b>0$이 명시되어 있는지 반드시 확인하세요.

step3. $a\times b\times c$의 값을 계산합니다.

앞서 구한 값들을 곱하면,

$a\times b\times c=2\times \frac{1}{2}\times 3=3$ 입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. a, c 구하기

최댓값: $a+c=5$

최솟값: $-a+c=1$

두 식을 더하면 $2c=6\Rightarrow c=3$

$a+3=5\Rightarrow a=2$

step2. b 구하기

---(최댓값과 최솟값의 x좌표 차이는 반주기)

$\frac{T}{2}=3\pi -\pi =2\pi$

$T=4\pi$

$\frac{2\pi }{b}=4\pi \Rightarrow b=\frac{1}{2}$

step3. 정답 도출

$a\times b\times c=2\times \frac{1}{2}\times 3=3$

$\therefore 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

그래프에서 최댓값과 최솟값이 나타나는 $x$ 좌표의 차이가 주기의 절반이라는 사실을 떠올리지 못해 $b$의 값을 구하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

사인 함수 그래프의 대칭성과 주기성을 떠올려 보세요. 산의 정상(최댓값)에서 골짜기(최솟값)까지의 거리는 전체 파동(주기)의 딱 절반입니다. 이를 이용해 주기를 구하고 $b$를 찾으세요. (최댓값 $x$좌표와 최솟값 $x$좌표의 차이 $\times 2=주기$)

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