2023년 6월 학평 (고2) 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 함수 $y={\log }_{2}x+1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 후 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하였더니 함수 $y=2^{x-1}+5$의 그래프와 일치하였다. 상수 $a$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 평행이동과 역함수(직선 $y=x$ 대칭)의 관계를 이용하여 미지수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 초기 함수: $y={\log }_{2}x+1$
- $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동
- 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동
- 결과 함수: $y=2^{x-1}+5$

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 평행이동과 대칭이동(역함수)의 성질을 순차적으로 적용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 로그함수를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 식을 구합니다.

step2. 평행이동한 식을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동(역함수)한 식을 구합니다.

step3. 구한 식과 문제에 주어진 지수함수 식을 비교하여 상수 $a$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 평행이동: 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $m$만큼 평행이동하면 $y=f(x-m)$이 된다.

- 대칭이동 (역함수): 함수 $y=f(x)$의 그래프를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 $x$와 $y$의 자리를 바꾼 $x=f(y)$가 되며, 이를 $y$에 대하여 정리하면 역함수가 된다.

- 로그의 정의: $a^x=N⟺x={\log }_{a}N$ ($a>0,a\ne 1,N>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 직선 $y=x$에 대한 대칭이동은 $x$와 $y$의 자리를 바꾸어 역함수를 구하는 것과 같음을 이해하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 로그함수를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 식을 구합니다.

함수 $y={\log }_{2}x+1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-a$를 대입합니다.

$y={\log }_2(x-a)+1$

step2. 평행이동한 식을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동(역함수)한 식을 구합니다.

직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하려면 $x$와 $y$의 자리를 바꿉니다.

$x={\log }_2(y-a)+1$

이 식을 $y$에 대하여 정리합니다.

$x-1={\log }_2(y-a)$

로그의 정의에 의해 지수 형태로 바꿉니다.

$y-a=2^{x-1}$

$y=2^{x-1}+a$

[함정경고] 평행이동 시 $x$ 대신 $x+a$를 대입하거나, 대칭이동 후 식을 정리할 때 로그와 지수의 변환 과정에서 부호를 실수하기 쉬우므로 주의해야 합니다.

step3. 구한 식과 문제에 주어진 지수함수 식을 비교하여 상수 $a$의 값을 도출합니다.

구한 함수 $y=2^{x-1}+a$가 문제에서 주어진 함수 $y=2^{x-1}+5$와 일치해야 합니다.

따라서 상수항을 비교하면 $a=5$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 평행이동

$y={\log }_2(x-a)+1$   --- ($x$축 방향 $a$만큼 평행이동)

step2. $y=x$ 대칭이동

$x={\log }_2(y-a)+1$   --- ($x,y$ 자리 바꿈)

$x-1={\log }_2(y-a)$

$y-a=2^{x-1}$

$y=2^{x-1}+a$

step3. 계수 비교

$y=2^{x-1}+a$ 와 $y=2^{x-1}+5$ 가 일치

$\therefore 5$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동할 때 $x$ 대신 $x-a$를 대입해야 하는데, $x+a$를 대입하는 실수를 할 수 있습니다. - 직선 $y=x$에 대한 대칭이동 후 식을 $y$에 대해 정리할 때, 로그를 지수로 변환하는 과정에서 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

- 평행이동은 부호가 반대로 들어간다는 점을 명확히 기억하고, $x$ 자리에 괄호를 쳐서 $(x-a)$를 대입하세요. - $y=x$ 대칭이동은 $x$와 $y$를 바꾼 후, $x={\log }_2(y-a)+1$에서 상수항을 먼저 넘겨 $x-1={\log }_2(y-a)$로 만든 뒤 지수 형태로 변환하세요. - 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로, $y=x$ 대칭이동 시 밑이 같은 지수/로그로 변환됨을 항상 염두에 두세요.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기