2023년 6월 학평 (고2) 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 상수 $a,b$에 대하여 함수 $y=2^{x+a}+b$의 그래프가 그림과 같을 때, $a+b$의 값은? (단, 직선 $y=3$은 함수의 그래프의 점근선이다.) ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프에서 점근선의 방정식과 $y$절편을 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수식: $y=2^{x+a}+b$
- 점근선의 방정식: $y=3$
- 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표($y$절편): 5

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 점근선과 지나는 점을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점근선의 방정식을 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

step2. 그래프가 지나는 점($y$절편)을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수함수의 점근선: 함수 $y=a^{x-p}+q$ ($a>0,a\ne 1$)의 점근선의 방정식은 $y=q$이다.

- 지수함수의 $y$절편: 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표는 $f(0)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수함수 $y=a^{x-p}+q$의 점근선은 $y=q$이고, 그래프가 지나는 점을 대입하면 미지수를 구할 수 있습니다.

step1. 점근선의 방정식을 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

주어진 함수 $y=2^{x+a}+b$에서 점근선의 방정식은 $y=b$입니다.

문제의 조건과 그래프에서 점근선이 $y=3$이라고 주어졌으므로, $b=3$입니다.

따라서 함수식은 $y=2^{x+a}+3$이 됩니다.

step2. 그래프가 지나는 점($y$절편)을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

그래프를 관찰하면 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 5임을 알 수 있습니다. 즉, 그래프는 점 $(0,5)$를 지납니다.

[함정경고] 그래프에서 $y$절편이 5인 것을 놓치거나, 다른 점으로 착각하기 쉽습니다. $y$축과 만나는 점의 좌표를 정확히 읽어야 합니다.

함수식 $y=2^{x+a}+3$에 $x=0,y=5$를 대입하면,

$5=2^{0+a}+3$

$2^a=5-3$

$2^a=2$

$2^a=2^1$이므로 $a=1$입니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a=1,b=3$이므로

$a+b=1+3=4$입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 점근선

$y=2^{x+a}+b$의 점근선은 $y=b$

주어진 점근선이 $y=3$이므로

$b=3$

step2. y절편

그래프가 $(0,5)$를 지나므로

$5=2^{0+a}+3$

$2^a=2$

$a=1$

step3. a+b

$a+b=1+3=4$

$\therefore 4$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

지수함수의 기본형 $y=2^x$가 평행이동된 형태에서 점근선이 어떻게 변하는지 정확히 알지 못해 $b$값을 바로 찾지 못할 수 있습니다. 또한, 그래프에서 $y$절편이 5라는 정보를 수식에 대입할 생각으로 연결하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

지수함수 $y=a^x+q$의 점근선은 항상 뒤에 더해진 상수항 $y=q$임을 기억하세요. 점근선으로 $b$를 구한 뒤, 그래프가 지나는 명확한 점(여기서는 $y$절편)을 찾아 식에 대입하면 남은 미지수를 구할 수 있습니다.

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